Calcule d/y d/x para as funções utilizando diferenciação implícita:
x^3 + y^3 - 9 x y = 1

Passo 1

Vamos resolver a equação para encontrar a derivada usando diferenciação implícita. Isso significa que vamos derivar os dois lados da equação em relação a , tratando como uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação separadamente:
  • Derivada de :
    A derivada de em relação a é usando a regra do poder.
  • Derivada de :
    Como é uma função de , usamos a regra da cadeia. A derivada de é multiplicado pela derivada de em relação a , ou seja, .
  • Derivada de :
    Aqui, usamos a regra do produto porque temos multiplicando . A derivada de é .
  • Derivada de 1:
    A derivada de uma constante é 0.

Passo 3

Agora, juntamos todas as derivadas na equação original:

Passo 4

Vamos agrupar os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro:

Passo 5

Fatoramos do lado esquerdo da equação:

Passo 6

Isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Podemos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por 3:

Resposta

A derivada é:

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