A Função Gamma é definido por
por
d) Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. A gente tem a função Gamma, que é definida por:
A questão quer que a gente verifique que, para números naturais
, a função Gamma avaliada em
é igual a:
Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades da função Gamma e usar um pouco de álgebra envolvendo fatoriais e potências de 2. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma propriedade importante da função Gamma que é similar ao fatorial. Sabemos que para qualquer número positivo
, a função Gamma satisfaz:
Isso é bem útil porque permite relacionar
com
.
Passo 3
Agora, precisamos saber o valor de
. Esse valor é um clássico e é igual a
. Então,
Passo 4
Vamos usar a propriedade que mencionamos no Passo 2 para expandir
. Aplicando a propriedade repetidamente, temos:
Substituindo
por
, fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o produto
. Observamos que isso pode ser reescrito em termos de fatoriais:
Essa relação vem de manipular produtos e reconhecer padrões que se relacionam com duplos fatoriais. Então, substituindo na expressão anterior:
Resposta
Portanto, mostramos que: