A Função Gamma é definido por Gamma:(0,+infty) R por
Gamma(p)=integral0^infty e^-x x^p-1 d x
d) Verifique que
Gamma(n+12)=(2 n)!2^2 n n! raizpi, n=0,1,2, ldots

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. A gente tem a função Gamma, que é definida por:
Gamma(p) = integral0^infty e^-x x^p-1 dx
A questão quer que a gente verifique que, para números naturais Gamma(n+12) = (2n)!2^2n n! raizpi , a função Gamma avaliada em é igual a:
Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades da função Gamma e usar um pouco de álgebra envolvendo fatoriais e potências de 2. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma propriedade importante da função Gamma que é similar ao fatorial. Sabemos que para qualquer número positivo Gamma(p+1) = p Gamma(p) , a função Gamma satisfaz:
Isso é bem útil porque permite relacionar com .

Passo 3

Agora, precisamos saber o valor de Gamma(12) = raizpi . Esse valor é um clássico e é igual a . Então,

Passo 4

Vamos usar a propriedade que mencionamos no Passo 2 para expandir Gamma(n+12) = (n - 12) Gamma(n - 12) = cdots = (n - 12)(n - 32) cdots 12 Gamma(12) . Aplicando a propriedade repetidamente, temos:
Gamma(n+12) = (n - 12)(n - 32) cdots 12 raizpi
Substituindo por , fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar o produto (n - 12)(n - 32) cdots 12 = (2n)!)4^n n! . Observamos que isso pode ser reescrito em termos de fatoriais:
Gamma(n+12) = (2n)!4^n n! raizpi = (2n)!2^2n n! raizpi
Essa relação vem de manipular produtos e reconhecer padrões que se relacionam com duplos fatoriais. Então, substituindo na expressão anterior:

Resposta

Portanto, mostramos que:
Gamma(n+12) = (2n)!2^2n n! raizpi

Exercícios relacionados