Calcule d/y d/x para as funções utilizando diferenciação implícita:
x^2 * y + y^2 = x^3

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos usando diferenciação implícita na equação . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com diferenciação implícita, que é útil quando temos funções definidas de forma que não está fácil isolar uma variável em termos da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que, quando diferenciamos em relação a x, y também depende de x, então usamos a regra da cadeia ao derivar termos com y.

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo:
  • Para x^2 y, usamos a regra do produto: a derivada de x^2 é , então temos .
  • Para y^2, usamos a regra da cadeia: a derivada de y^2 é .
  • A derivada de x^3 é .
Então, após diferenciar, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos isolar os termos que contêm :

Passo 5

Fatoramos do lado esquerdo:

Passo 6

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Resposta

A derivada é igual a .

Exercícios relacionados