Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
6 y'' - y' - y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
Essa equação pertence ao conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral usando equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica dessa EDO. A ideia é substituir cada derivada por uma potência de . Então, temos:
Essa é uma equação quadrática que precisamos resolver para encontrar os valores de .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo esses valores:

Passo 4

Calculando as duas soluções para :

Passo 5

Tendo encontrado as raízes e , que são reais e distintas, a solução geral da EDO é dada por:
Substituindo os valores de e :
Onde e são constantes de integração que seriam determinadas se houvesse condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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