Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
Essa equação pertence ao conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral usando equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica dessa EDO. A ideia é substituir cada derivada por uma potência de
. Então, temos:
Essa é uma equação quadrática que precisamos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores:
Passo 4
Calculando as duas soluções para
:
Passo 5
Tendo encontrado as raízes
e
, que são reais e distintas, a solução geral da EDO é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Onde
e
são constantes de integração que seriam determinadas se houvesse condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: