Calcule
para as funções utilizando diferenciação implícita:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando diferenciação implícita. A função que temos é
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a diferenciação implícita, que é útil quando
não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação. Temos:
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Mas antes, lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos algo que tem
, a gente também precisa multiplicar pela derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 3
Vamos diferenciar cada termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é (usamos a regra da cadeia). - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, após a diferenciação, ficamos com:
Passo 4
Agora, vamos reunir os termos que têm
de um lado e os demais termos do outro lado. Vamos adicionar
em ambos os lados e subtrair 2 de ambos os lados:
Fatorando
:
Passo 5
Para isolar
, a gente divide ambos os lados da equação por
:
Podemos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por 2:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: