Calcule d/y d/x para as funções utilizando diferenciação implícita:
x^2 - y^2 = 2x + 4y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , usando diferenciação implícita. A função que temos é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a diferenciação implícita, que é útil quando não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação. Temos:
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Mas antes, lembre-se que é uma função de , então quando derivamos algo que tem , a gente também precisa multiplicar pela derivada de em relação a , que é .

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (usamos a regra da cadeia).
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, após a diferenciação, ficamos com:

Passo 4

Agora, vamos reunir os termos que têm de um lado e os demais termos do outro lado. Vamos adicionar em ambos os lados e subtrair 2 de ambos os lados:
Fatorando :

Passo 5

Para isolar , a gente divide ambos os lados da equação por :
Podemos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por 2:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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