Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
9 y'' + 6 y' + y = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) . Aqui, vamos trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para encontrar a solução geral, vamos precisar montar e resolver a equação característica associada a essa EDO.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica. Para uma EDO da forma , a equação característica é dada por . No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa equação:
Onde:

Passo 4

Calculamos o discriminante ( ) da equação:
Como , temos uma raiz real dupla.

Passo 5

Com , a raiz é:
Portanto, a equação característica tem uma raiz dupla .

Passo 6

Quando temos uma raiz real dupla , a solução geral da EDO é dada por:
Substituindo , obtemos:

Resposta

A solução geral da EDO é:

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