Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO)
. Aqui, vamos trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para encontrar a solução geral, vamos precisar montar e resolver a equação característica associada a essa EDO.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica. Para uma EDO da forma
, a equação característica é dada por
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa equação:
Onde:
Passo 4
Calculamos o discriminante (
) da equação:
Como
, temos uma raiz real dupla.
Passo 5
Com
, a raiz é:
Portanto, a equação característica tem uma raiz dupla
.
Passo 6
Quando temos uma raiz real dupla
, a solução geral da EDO é dada por:
Substituindo
, obtemos:
Resposta
A solução geral da EDO
é: