Calcule a derivada das funções utilizando as regras de diferenciação aprendidas:
f(x) = (1 + tg(x/4)^4)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de regras de diferenciação, especificamente a regra da cadeia e a regra da potência. Para resolver, vamos precisar identificar as funções internas e aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que estão “dentro” uma da outra. Temos uma função externa elevando algo ao cubo e, dentro dela, uma soma envolvendo a tangente elevada à quarta potência. Então, vamos definir:
Isso significa que nossa função pode ser reescrita como .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da potência, que diz que a derivada de em relação a é . Aplicando isso à nossa função:
Então, precisamos achar .

Passo 4

Vamos derivar . A constante 1 desaparece na derivada, então focamos em . Aqui, usamos a regra da cadeia novamente. Seja:
Então, e,

Passo 5

Agora, vamos derivar . A derivada da tangente é , então:

Passo 6

Substituindo na expressão de :
Lembrando que , então:

Passo 7

Agora, voltamos à derivada principal :

Resposta

A derivada da função é:

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