Calcule a derivada das funções utilizando as regras de diferenciação aprendidas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função
. Isso envolve o conteúdo de regras de diferenciação, especificamente a regra da cadeia e a regra da potência. Para resolver, vamos precisar identificar as funções internas e aplicar essas regras passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que estão “dentro” uma da outra. Temos uma função externa elevando algo ao cubo e, dentro dela, uma soma envolvendo a tangente elevada à quarta potência. Então, vamos definir:
Isso significa que nossa função
pode ser reescrita como
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da potência, que diz que a derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso à nossa função:
Então, precisamos achar
.
Passo 4
Vamos derivar
. A constante 1 desaparece na derivada, então focamos em
. Aqui, usamos a regra da cadeia novamente. Seja:
Então,
e,
Passo 5
Agora, vamos derivar
. A derivada da tangente é
, então:
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Lembrando que
, então:
Passo 7
Agora, voltamos à derivada principal
:
Resposta
A derivada da função é: