Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem que você enviou:
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente EDOs lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Para isso, construímos a equação característica, que é uma equação polinomial obtida substituindo
por
,
por
, e
por 1:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois valores de
:
Passo 4
Com os valores de
encontrados, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas se tivermos condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito da equação é
, tentamos uma solução particular da forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Vamos derivar
para substituir na equação:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da EDO é: