Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
y'' - 2 y' - 3 y = 3 e^(2 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem que você enviou:
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente EDOs lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Para isso, construímos a equação característica, que é uma equação polinomial obtida substituindo por , por , e por 1:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois valores de :

Passo 4

Com os valores de encontrados, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas se tivermos condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito da equação é , tentamos uma solução particular da forma:
onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Vamos derivar para substituir na equação:

Passo 7

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Resolvendo para :
Então, a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da EDO é:

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