Calcule
para as funções utilizando diferenciação implícita:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
, para a função dada pela equação
. Isso se chama diferenciação implícita, que é uma técnica usada quando
não está isolada em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos termos que envolvem
, precisamos usar a regra da cadeia.
Vamos começar diferenciando o lado esquerdo da equação:
Passo 3
Agora, diferencie cada termo separadamente.
Para o primeiro termo
:
- Use a regra do produto, que diz que
. - Aqui,
e . - Derivando:
e .
Então:
Passo 4
Para o segundo termo
:
- Também usamos a regra do produto.
- Aqui,
e . - Derivando:
e (usamos a regra da cadeia para ).
Então:
Passo 5
Agora, vamos substituir as derivadas que encontramos de volta na equação original:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Reagrupando os termos que contêm
:
Passo 7
Fatorando
dos termos correspondentes:
Isolando
:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: