Calcule d/y d/x para as funções utilizando diferenciação implícita:
x^2 y - x y^2 = 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de em relação a , ou seja, , para a função dada pela equação . Isso se chama diferenciação implícita, que é uma técnica usada quando não está isolada em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivamos termos que envolvem , precisamos usar a regra da cadeia.
Vamos começar diferenciando o lado esquerdo da equação:

Passo 3

Agora, diferencie cada termo separadamente.
Para o primeiro termo :
  • Use a regra do produto, que diz que .
  • Aqui, e .
  • Derivando: e .
Então:

Passo 4

Para o segundo termo :
  • Também usamos a regra do produto.
  • Aqui, e .
  • Derivando: e (usamos a regra da cadeia para ).
Então:

Passo 5

Agora, vamos substituir as derivadas que encontramos de volta na equação original:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
Reagrupando os termos que contêm :

Passo 7

Fatorando dos termos correspondentes:
Isolando :

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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