Seja S o sólido gerado pela rotação do gráfico y = x^(-1) em torno do eixo-x para 1 <= x < infinito
b) Verifique que Área S = +infinito.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um sólido chamado S, que é formado ao girar o gráfico da função em torno do eixo x, começando de x = 1 até o infinito. A matéria que vamos usar é Cálculo, mais especificamente o cálculo de área de superfícies geradas por rotação. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula que calcula a área de uma superfície de revolução e entender um pouco sobre integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área da superfície gerada quando a gente gira uma curva em torno do eixo x. A fórmula é:
Aqui, a e b são os limites de integração, no nosso caso, de 1 até o infinito.

Passo 3

Agora, vamos identificar nossa função y e calcular sua derivada. Nossa função é . Vamos derivar em relação a x:

Passo 4

Substituindo y e na fórmula da área, temos:
Simplificando a expressão dentro da raiz:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:

Passo 6

Para analisar se essa integral converge ou diverge, vamos observar o comportamento da função integranda quando x tende ao infinito. Quando x é muito grande, , então:

Passo 7

Sabemos que a integral de 1/x de 1 ao infinito é:
Isso significa que a nossa integral original também tende ao infinito.

Resposta

A área do sólido S gerado pela rotação do gráfico de em torno do eixo x para é infinita, ou seja, Área .

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