Seja
o sólido gerado pela rotação do gráfico
em torno do eixo-x para
b) Verifique que Área
.
b) Verifique que Área
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um sólido chamado
, que é formado ao girar o gráfico da função
em torno do eixo x, começando de
até o infinito. A matéria que vamos usar é Cálculo, mais especificamente o cálculo de área de superfícies geradas por rotação. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula que calcula a área de uma superfície de revolução e entender um pouco sobre integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área da superfície gerada quando a gente gira uma curva em torno do eixo x. A fórmula é:
Aqui,
e
são os limites de integração, no nosso caso, de
até o infinito.
Passo 3
Agora, vamos identificar nossa função
e calcular sua derivada. Nossa função é
. Vamos derivar em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula da área, temos:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral:
Passo 6
Para analisar se essa integral converge ou diverge, vamos observar o comportamento da função integranda quando
tende ao infinito. Quando
é muito grande,
, então:
Passo 7
Sabemos que a integral de
de
ao infinito é:
Isso significa que a nossa integral original também tende ao infinito.
Resposta
A área do sólido
gerado pela rotação do gráfico de
em torno do eixo x para
é infinita, ou seja, Área
.