Utilizando diferenciação logarítmica, determine a derivada de cada função:
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisamos encontrar a derivada dessa função usando diferenciação logarítmica. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente, técnicas de diferenciação de funções que têm variáveis no expoente e na base. Vamos precisar usar logaritmos naturais e as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a diferenciação logarítmica. Isso significa que vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados da equação para facilitar a derivação.
Passo 3
Tirando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
Passo 4
Podemos simplificar o lado direito usando a propriedade dos logaritmos que diz que
:
Passo 5
Agora, vamos simplificar
. Sabemos que
, então:
Substituindo de volta na equação:
Passo 6
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
devido à regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito (
) usando a regra do produto:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 7
Igualando as derivadas dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
para isolarmos
:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Podemos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
Resposta
A derivada da função é: