Utilizando diferenciação logarítmica, determine a derivada de cada função:
y = (raiz(x))^(raiz(x))

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisamos encontrar a derivada dessa função usando diferenciação logarítmica. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente, técnicas de diferenciação de funções que têm variáveis no expoente e na base. Vamos precisar usar logaritmos naturais e as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a diferenciação logarítmica. Isso significa que vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados da equação para facilitar a derivação.

Passo 3

Tirando o logaritmo natural dos dois lados, temos:

Passo 4

Podemos simplificar o lado direito usando a propriedade dos logaritmos que diz que :

Passo 5

Agora, vamos simplificar . Sabemos que , então:
Substituindo de volta na equação:

Passo 6

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se que a derivada de em relação a é devido à regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito ( ) usando a regra do produto:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 7

Igualando as derivadas dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por para isolarmos :

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Podemos simplificar a expressão dentro dos parênteses:

Resposta

A derivada da função é:

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