Deixa-se cair de uma altura de 40 m um objeto que pesa 30 N , com uma velocidade inicial de
. Suponhamos que a resistência do ar seja proporcional a velocidade do corpo. Se sabe que a velocidade limite deve ser de
. Determine:
(a) a velocidade do objeto depois de 8s:
(b) a expressão para a posição do corpo no instante de tempo
.
(a) a velocidade do objeto depois de 8s:
(b) a expressão para a posição do corpo no instante de tempo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto que é deixado cair de uma altura de 40 metros. Esse objeto tem um peso de 30 N e uma velocidade inicial de
. Além disso, a resistência do ar é proporcional à velocidade do objeto, e sabemos que a velocidade limite (ou velocidade terminal) desse objeto é
. Precisamos determinar:
a) A velocidade do objeto após 8 segundos.
b) A expressão para a posição do objeto em função do tempo .
a) A velocidade do objeto após 8 segundos.
b) A expressão para a posição do objeto em função do tempo
Para resolver isso, vamos precisar entender as leis do movimento com resistência do ar proporcional à velocidade, que envolvem equações diferenciais simples.
Passo 2
Vamos começar encontrando a massa do objeto. Sabemos que o peso
é dado por
, onde
é a aceleração da gravidade (
). Então, podemos calcular a massa
:
Passo 3
A velocidade terminal
ocorre quando a força da resistência do ar iguala a força gravitacional. A resistência do ar
é proporcional à velocidade, então podemos escrever:
No ponto da velocidade terminal:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a expressão para a velocidade
em função do tempo. A equação diferencial que descreve o movimento é:
Podemos rearranjar para:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é:
Onde:
-
é a velocidade terminal ( ), -
é a velocidade inicial.
Passo 5
Substituindo os valores na equação da velocidade:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para encontrar a velocidade após 8 segundos, substituímos
na expressão de
:
Calculando o expoente:
Então:
Calculando
:
Portanto:
Passo 7
Para encontrar a posição
em função do tempo, integramos a função de velocidade:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração. Sabemos que no tempo
, a posição
(assumindo que o ponto de partida é
):
Portanto, a expressão para a posição fica:
Simplificando:
Resposta
a) A velocidade do objeto após 8 segundos é aproximadamente
.
b) A expressão para a posição do objeto em função do tempo
é: