Deixa-se cair de uma altura de 40 m um objeto que pesa 30 N , com uma velocidade inicial de 3 m/s. Suponhamos que a resistência do ar seja proporcional a velocidade do corpo. Se sabe que a velocidade limite deve ser de 40 m/s. Determine:
(a) a velocidade do objeto depois de 8s:
(b) a expressão para a posição do corpo no instante de tempo t.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto que é deixado cair de uma altura de 40 metros. Esse objeto tem um peso de 30 N e uma velocidade inicial de . Além disso, a resistência do ar é proporcional à velocidade do objeto, e sabemos que a velocidade limite (ou velocidade terminal) desse objeto é . Precisamos determinar:
a) A velocidade do objeto após 8 segundos.
b) A expressão para a posição do objeto em função do tempo .
Para resolver isso, vamos precisar entender as leis do movimento com resistência do ar proporcional à velocidade, que envolvem equações diferenciais simples.

Passo 2

Vamos começar encontrando a massa do objeto. Sabemos que o peso é dado por , onde é a aceleração da gravidade ( ). Então, podemos calcular a massa :

Passo 3

A velocidade terminal ocorre quando a força da resistência do ar iguala a força gravitacional. A resistência do ar é proporcional à velocidade, então podemos escrever:
No ponto da velocidade terminal:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a expressão para a velocidade em função do tempo. A equação diferencial que descreve o movimento é:
Podemos rearranjar para:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é:
Onde:
  • é a velocidade terminal ( ),
  • é a velocidade inicial.

Passo 5

Substituindo os valores na equação da velocidade:
Simplificando:

Passo 6

Agora, para encontrar a velocidade após 8 segundos, substituímos na expressão de :
Calculando o expoente:
Então:
Calculando :
Portanto:

Passo 7

Para encontrar a posição em função do tempo, integramos a função de velocidade:
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração. Sabemos que no tempo , a posição (assumindo que o ponto de partida é ):
Portanto, a expressão para a posição fica:
Simplificando:

Resposta

a) A velocidade do objeto após 8 segundos é aproximadamente .
b) A expressão para a posição do objeto em função do tempo é:

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