Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
y'' + y = 0, y(pi/3) = 2, y'(pi/3) = -4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do segundo grau: , e depois encontrar a solução específica que satisfaz as condições iniciais dadas: e . Vamos usar conhecimentos de EDOs lineares homogêneas e suas soluções gerais para resolver isso juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial . Para isso, a gente assume que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos descobrir.

Passo 3

Substituindo na equação , temos:
Então a equação fica:
Podemos fatorar (que nunca é zero) e obter:

Passo 4

Resolvendo a equação característica , temos:
Como as raízes são complexas, a solução geral da EDO é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . Sabemos que:
Primeiro, vamos calcular e com a solução geral.

Passo 6

A derivada de é:
Agora, substituímos nas duas equações.

Passo 7

Substituindo na equação de :
Sabemos que e , então:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
çã

Passo 8

Agora, substituindo na equação de :
Usando os valores de seno e cosseno novamente:
Multiplicando por 2:
çã

Passo 9

Agora temos um sistema de duas equações:
çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 10

Multiplicando a Equação 1 por :
Agora, somamos com a Equação 2:
Simplificando:
Dividindo por 4:

Passo 11

Agora, substituímos na Equação 1:
Calculando:
Simplificando:

Resposta

A solução particular da EDO é:

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