Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do segundo grau:
, e depois encontrar a solução específica que satisfaz as condições iniciais dadas:
e
. Vamos usar conhecimentos de EDOs lineares homogêneas e suas soluções gerais para resolver isso juntos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial
. Para isso, a gente assume que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos descobrir.
Passo 3
Substituindo
na equação
, temos:
Então a equação fica:
Podemos fatorar
(que nunca é zero) e obter:
Passo 4
Resolvendo a equação característica
, temos:
Como as raízes são complexas, a solução geral da EDO é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
. Sabemos que:
Primeiro, vamos calcular
e
com a solução geral.
Passo 6
A derivada de
é:
Agora, substituímos
nas duas equações.
Passo 7
Substituindo na equação de
:
Sabemos que
e
, então:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Passo 8
Agora, substituindo na equação de
:
Usando os valores de seno e cosseno novamente:
Multiplicando por 2:
Passo 9
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 10
Multiplicando a Equação 1 por
:
Agora, somamos com a Equação 2:
Simplificando:
Dividindo por 4:
Passo 11
Agora, substituímos
na Equação 1:
Calculando:
Simplificando:
Resposta
A solução particular da EDO é: