Calcule
para as funções utilizando diferenciação implícita:
Passo 1
Ok, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação envolvendo
e
:
. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é o de diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada
quando
está misturado com
na equação. Vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, já que temos funções compostas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos derivar cada termo em relação a
.
A gente tem:
Vamos derivar cada termo separadamente:
- A derivada de
em relação a é (usando a regra da potência e a regra da cadeia). - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia). - A derivada de
em relação a é (usando a regra do produto).
Então, a equação derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Vamos reunir todos os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro lado.
Fatorando
dos termos da esquerda:
Agora, isolamos
:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2y:
Resposta
A derivada
é: