Calcule d/y d/x para as funções utilizando diferenciação implícita:
y^2 + cos(y^2) = x^2 * y^2

Passo 1

Ok, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação envolvendo e : . O conteúdo que vamos usar para resolver isso é o de diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando está misturado com na equação. Vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, já que temos funções compostas como .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos derivar cada termo em relação a .
A gente tem:
Vamos derivar cada termo separadamente:
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da potência e a regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é (usando a regra do produto).
Então, a equação derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos isolar . Vamos reunir todos os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro lado.
Fatorando dos termos da esquerda:
Agora, isolamos :
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2y:

Resposta

A derivada é:

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