Calcule d/y d/x para as funções utilizando diferenciação implícita:
2 x^3 + x^2 y + y^3 = 8000

Passo 1

Vamos calcular para a equação usando diferenciação implícita. Isso significa que vamos usar as regras de derivação para funções que estão misturadas entre si, sem isolar uma das variáveis. Para resolver, precisamos aplicar a derivada de cada termo em relação a x, lembrando que y também é uma função de x.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x:
  1. Derivada de :
  2. Derivada de x^2 y:
    Aqui, precisamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é . Neste caso, e .
  3. Derivada de :
    Aqui, usamos a regra da cadeia, já que y é uma função de x.
  4. Derivada de :
    Como é uma constante, sua derivada é zero.

Passo 3

Agora, substituímos as derivadas na equação original:

Passo 4

Vamos isolar os termos que contêm :

Passo 5

Fatoramos do lado esquerdo da equação:

Passo 6

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Resposta

A derivada é:

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