Calcule a derivada das funções utilizando as regras de diferenciação aprendidas:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos achar a sua derivada. Para isso, vamos usar as regras de diferenciação que aprendemos, como a regra do produto, a regra da cadeia e as propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Observamos que temos uma função elevada ao quadrado, então podemos reescrever
da seguinte forma:
Isso simplifica a expressão para
, tornando mais fácil aplicar as regras de diferenciação.
Passo 3
Agora, para encontrar a derivada de
, vamos usar a regra do produto, que nos diz que a derivada de duas funções multiplicadas é igual à derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda. Matemáticamente:
Aqui,
e
.
Vamos calcular as derivadas individuais:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Para derivar essa função, usamos a regra da cadeia. Sabemos que a derivada de
é
. Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do produto:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Simplificando:
Podemos fatorar
para deixar a expressão mais elegante:
Resposta
A derivada da função é: