Determine a derivada segunda de cada função:
f(x) = cos(x) / (1 + x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a segunda derivada da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e regras de diferenciação. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente e entender como calcular derivadas de funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Como temos uma divisão entre duas funções, vamos aplicar a regra do quociente, que diz:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 5

Agora que temos a primeira derivada, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos derivar novamente. Observamos que também é uma fração, então vamos aplicar novamente a regra do quociente.
Vamos chamar o numerador de e o denominador de .

Passo 6

Calculamos as derivadas de e :
Primeiro, derivada de :
Agora, derivada de :

Passo 7

Aplicamos novamente a regra do quociente para :

Passo 8

Simplificamos a expressão:
Podemos cancelar um fator de no numerador e no denominador:

Resposta

A segunda derivada de é:

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