Determine a derivada segunda de cada função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a segunda derivada da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e regras de diferenciação. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente e entender como calcular derivadas de funções trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. Como temos uma divisão entre duas funções, vamos aplicar a regra do quociente, que diz:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 5
Agora que temos a primeira derivada, vamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, vamos derivar
novamente. Observamos que
também é uma fração, então vamos aplicar novamente a regra do quociente.
Vamos chamar o numerador de
e o denominador de
.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
e
:
Primeiro, derivada de
:
Agora, derivada de
:
Passo 7
Aplicamos novamente a regra do quociente para
:
Passo 8
Simplificamos a expressão:
Podemos cancelar um fator de
no numerador e no denominador:
Resposta
A segunda derivada de
é: