Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
i)
.
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral definida de
a
da função
, onde
é maior que zero. Nosso objetivo é calcular essa integral usando a Função Gamma. Vamos precisar entender como a Função Gamma funciona e como podemos transformar essa integral para se encaixar na definição da Gamma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, podemos reescrever a integral assim:
Como estamos elevando ao potência
, podemos ignorar o sinal negativo porque
vai depender de
, mas como
, vamos focar na estrutura da integral.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para transformar essa integral em uma forma que se assemelhe à definição da Função Gamma. Vamos deixar
. Então, precisamos encontrar
em termos de
:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Vamos mudar os limites de integração de acordo com nossa substituição. Quando
:
E quando
:
Então, nossa integral agora fica:
Note que o sinal negativo do
foi compensado invertendo os limites de integração.
Passo 5
Olha só, essa última expressão é exatamente a definição da Função Gamma! A Função Gamma é definida por:
Comparando com nossa integral, vemos que
. Portanto:
Resposta
A integral
é igual à Função Gamma de
, ou seja: