Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
i) integral0^1[ln (1x)]^p-1 d x, p>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral definida de 0 a 1 da função [ln (1x)]^p-1, onde p é maior que zero. Nosso objetivo é calcular essa integral usando a Função Gamma. Vamos precisar entender como a Função Gamma funciona e como podemos transformar essa integral para se encaixar na definição da Gamma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que ln(1x) é o mesmo que -ln(x). Então, podemos reescrever a integral assim:
integral0^1 [-ln(x)]^p-1 dx
Como estamos elevando ao potência p-1, podemos ignorar o sinal negativo porque ( -1 )^p-1 vai depender de p, mas como p > 0, vamos focar na estrutura da integral.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para transformar essa integral em uma forma que se assemelhe à definição da Função Gamma. Vamos deixar t = -ln(x). Então, precisamos encontrar t = -ln(x) Rightarrow x = e^-t em termos de dx = -e^-t dt :
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Vamos mudar os limites de integração de acordo com nossa substituição. Quando t = -ln(1) = 0 :
t = -ln(0) to +infty
E quando integral0^infty t^p-1 e^-t dt :
Então, nossa integral agora fica:
Note que o sinal negativo do foi compensado invertendo os limites de integração.

Passo 5

Olha só, essa última expressão é exatamente a definição da Função Gamma! A Função Gamma é definida por:
Gamma(n) = integral0^infty t^n-1 e^-t dt
Comparando com nossa integral, vemos que integral0^1 [ln (1x)]^p-1 dx = Gamma(p) . Portanto:

Resposta

A integral integral0^1[ln (1x)]^p-1 dx é igual à Função Gamma de p, ou seja:
Gamma(p)

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