Calcule d yd x sendo x y^2+y^3=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular dydx dado que x y^2 + y^3 = 3. O conteúdo é diferenciação implícita, e precisaremos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados da equação x y^2 + y^3 = 3 em relação a x temos: a derivada do lado direito é zero, pois é constante.
Para derivar x y^2 usamos a regra do produto:
ddx(x y^2)=1cdot y^2 + xcdot 2ydydx=y^2 +2xydydx

Passo 3

A derivada de y^3 aplica a regra da cadeia:
ddx(y^3)=3y^2dydx

Passo 4

Substituindo na derivada da equação original:
y^2 +2xydydx +3y^2dydx=0

Passo 5

Agrupando os termos que envolvem dydx:
y^2 +dydx(2xy+3y^2)=0

Passo 6

Isolando dydx:
dydx=-y^22xy+3y^2

Passo 7

Podemos simplificar fatorando y no denominador:
dydx=-y2x+3y

Resposta

-dfracy^22xy+3y^2 (ou de forma simplificada, -dfracy2x+3y).

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