Calcule
em termos de
e
, onde
é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver uma derivada implícita aqui. O enunciado diz que temos uma função
que está dada de forma implícita pela equação
. Nosso objetivo é encontrar
em termos de
e
. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer um pouquinho sobre derivadas de funções inversas trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a função arco secante de
. A derivada da função arco secante
em relação a
é dada por:
Mas como
, precisamos aplicar a regra da cadeia para derivar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar os dois lados da equação
em relação a
:
No lado direito, a derivada de
em relação a
é simplesmente
.
Passo 4
No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Então, multiplicamos isso pela derivada de
em relação a
(
):
Passo 5
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Resposta
A derivada
em termos de
e
é: