Calcule d/y d/x em termos de x e y, onde
y = f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
sec^(-1)(y) = 3x + 1

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma derivada implícita aqui. O enunciado diz que temos uma função que está dada de forma implícita pela equação . Nosso objetivo é encontrar em termos de x e y. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer um pouquinho sobre derivadas de funções inversas trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a função arco secante de y. A derivada da função arco secante em relação a u é dada por:
Mas como , precisamos aplicar a regra da cadeia para derivar ambos os lados da equação em relação a x.

Passo 3

Vamos derivar os dois lados da equação em relação a x:
No lado direito, a derivada de em relação a x é simplesmente .

Passo 4

No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a y é . Então, multiplicamos isso pela derivada de y em relação a x ( ):

Passo 5

Para isolar , multiplicamos ambos os lados da equação por :

Resposta

A derivada em termos de x e y é:

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