Calcule
em termos de
e
, onde
é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
Passo 1
Vamos resolver a derivada de
em relação a
, ou seja,
, onde
é definida implicitamente pela equação:
Aqui, estamos trabalhando com derivação implícita, que é útil quando
não está isolada. Vamos precisar usar a regra da cadeia e a derivada das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a derivação:
Isso nos ajuda a aplicar a derivada em ambos os lados da equação.
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que a derivada de 0 é 0.
Passo 4
Vamos derivar cada termo separadamente. Primeiro, a derivada de
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a derivada de
. Usamos a regra da cadeia:
Passo 6
Vamos derivar
:
Passo 7
Substituindo de volta na derivada do cosseno:
Passo 8
Voltando à equação original após derivação:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos isolar
. Primeiro, multiplicamos todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Passo 10
Agrupando os termos com
:
Passo 11
Fatorando
:
Passo 12
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: