Calcule d/y d/x em termos de x e y, onde
y = f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
raiz(x^2 + y^2) = cos((3y - 1) / x)

Passo 1

Vamos resolver a derivada de em relação a , ou seja, , onde é definida implicitamente pela equação:
Aqui, estamos trabalhando com derivação implícita, que é útil quando não está isolada. Vamos precisar usar a regra da cadeia e a derivada das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a derivação:
Isso nos ajuda a aplicar a derivada em ambos os lados da equação.

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que a derivada de 0 é 0.

Passo 4

Vamos derivar cada termo separadamente. Primeiro, a derivada de :
Simplificando:

Passo 5

Agora, a derivada de . Usamos a regra da cadeia:

Passo 6

Vamos derivar :

Passo 7

Substituindo de volta na derivada do cosseno:

Passo 8

Voltando à equação original após derivação:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos isolar . Primeiro, multiplicamos todos os termos por para eliminar os denominadores:

Passo 10

Agrupando os termos com :

Passo 11

Fatorando :

Passo 12

Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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