Determinar a posição do centro de massa de um segmento de círculo de raio
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a posição do centro de massa de um segmento de círculo com raio
. Isso está dentro da matéria de Estática ou Mecânica dos Corpos Rígidos, onde a gente estuda como distribuir o peso de um objeto no espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Cálculo, especialmente integrais, porque vamos calcular a média das posições dos pontos que compõem o segmento de círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um segmento de círculo. Imagine um círculo e desenhe um arco em cima de uma corda (a linha reta que conecta dois pontos do círculo). O segmento de círculo é a região que fica entre esse arco e a corda. Nosso objetivo é encontrar o ponto onde podemos considerar que todo o peso dessa região está concentrado, ou seja, o centro de massa.
Passo 3
Para simplificar, vamos adotar um sistema de coordenadas onde o centro do círculo está na origem (0,0) e a corda está paralela ao eixo x. Assim, o centro de massa estará localizado ao longo do eixo y devido à simetria do problema.
Passo 4
Vamos chamar o ângulo central que define o segmento de círculo de
(em radianos). A área do segmento de círculo pode ser calculada usando a fórmula:
Essa fórmula nos dá a área do segmento em termos do raio
e do ângulo
.
Passo 5
O próximo passo é encontrar a coordenada y do centro de massa (
). Para isso, usamos a definição de centro de massa para uma região plana:
Isso significa que vamos integrar todas as posições y dos pontos da área, e então dividir pela área total para encontrar a média.
Passo 6
Vamos parametrizar nossa região usando coordenadas polares. Nesse sistema, um ponto na região é definido por um ângulo
e uma distância
do centro. Para o segmento de círculo,
vai de 0 a
e
vai de
a
.
A área diferencial em coordenadas polares é:
E a coordenada y de um ponto é:
Passo 7
Substituindo
e
na integral do centro de massa:
Simplificando:
Passo 8
Calculando a integral interna:
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 9
Agora, calculamos a integral externa:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 11
Lembrando que a área
do segmento de círculo é:
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A posição do centro de massa do segmento de círculo de raio
está a uma distância:
do eixo da corda.