Determinar a posição do centro de massa de um segmento de círculo de raio a > 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a posição do centro de massa de um segmento de círculo com raio . Isso está dentro da matéria de Estática ou Mecânica dos Corpos Rígidos, onde a gente estuda como distribuir o peso de um objeto no espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Cálculo, especialmente integrais, porque vamos calcular a média das posições dos pontos que compõem o segmento de círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um segmento de círculo. Imagine um círculo e desenhe um arco em cima de uma corda (a linha reta que conecta dois pontos do círculo). O segmento de círculo é a região que fica entre esse arco e a corda. Nosso objetivo é encontrar o ponto onde podemos considerar que todo o peso dessa região está concentrado, ou seja, o centro de massa.

Passo 3

Para simplificar, vamos adotar um sistema de coordenadas onde o centro do círculo está na origem (0,0) e a corda está paralela ao eixo x. Assim, o centro de massa estará localizado ao longo do eixo y devido à simetria do problema.

Passo 4

Vamos chamar o ângulo central que define o segmento de círculo de (em radianos). A área do segmento de círculo pode ser calculada usando a fórmula:
Essa fórmula nos dá a área do segmento em termos do raio e do ângulo .

Passo 5

O próximo passo é encontrar a coordenada y do centro de massa ( ). Para isso, usamos a definição de centro de massa para uma região plana:
Isso significa que vamos integrar todas as posições y dos pontos da área, e então dividir pela área total para encontrar a média.

Passo 6

Vamos parametrizar nossa região usando coordenadas polares. Nesse sistema, um ponto na região é definido por um ângulo e uma distância do centro. Para o segmento de círculo, vai de 0 a e vai de a .
A área diferencial em coordenadas polares é:
E a coordenada y de um ponto é:

Passo 7

Substituindo e na integral do centro de massa:
Simplificando:

Passo 8

Calculando a integral interna:
Substituindo de volta na expressão para :

Passo 9

Agora, calculamos a integral externa:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão para :

Passo 11

Lembrando que a área do segmento de círculo é:
Substituindo na expressão de :

Resposta

A posição do centro de massa do segmento de círculo de raio está a uma distância:
do eixo da corda.

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