Seja a equação de Navier-Stokes para o escoamento incompressível de óleo dentro de uma esfera
onde
denota a viscosidade do óleo e
sua densidade.
A velocidade do escoamento é dada, em coordenadas esféricas, pelo campo vetorial
.
Calcule o lado esquerdo,
, e também o termo
da equação de NavierStokes. Faça todas as contas explicitamente.
A velocidade do escoamento é dada, em coordenadas esféricas, pelo campo vetorial
Calcule o lado esquerdo,
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de velocidade em coordenadas esféricas
e pede dois termos vetoriais da equação de Navier–Stokes incompressível:
– O lado esquerdo
– O lado esquerdo
– O termo difusivo
Vamos usar as fórmulas de cálculo vetorial em base ortonormal esférica, fazer tudo “na mão” e obter expressão final em
.
Passo 2
Calcular primeiro
. Em esférico ortonormal,
Como
,
,
e não há dependência em
, dá-se:
Logo
Passo 3
Em seguida formamos o produto vetorial
. Usando a base ortonormal
e
,
,
Assim
Passo 4
Agora calculamos
. Chamemos
e apliquemos a fórmula do rotacional em esférico:
Como não há
-dependência, levam a
Portanto
Passo 5
Para o termo viscoso precisamos
. Usamos a identidade
Já temos
,
,
.
Calculemos então (isto é
) com as mesmas fórmulas do passo 2:
Calculemos então
Então
. Novamente,
dá
Portanto
Resposta
Lado esquerdo
Termo difusivo