Seja a equação de Navier-Stokes para o escoamento incompressível de óleo dentro de uma esfera
-nabla times(v times(nabla times v))=etarho0 nabla^2(nabla times v)
onde eta denota a viscosidade do óleo e rho0 sua densidade.
A velocidade do escoamento é dada, em coordenadas esféricas, pelo campo vetorial v(r, theta, phi)= sin theta r+r^5 phi.
Calcule o lado esquerdo, -nabla times(v times(nabla times v)), e também o termo nabla^2(nabla times v) da equação de NavierStokes. Faça todas as contas explicitamente.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidade em coordenadas esféricas
v(r,theta,phi)=sintheta,hat r ;+;r^5,hatphi
e pede dois termos vetoriais da equação de Navier–Stokes incompressível:
– O lado esquerdo
-nablatimesl(vtimes(nablatimesv)r)
– O termo difusivo
nabla^2l(nablatimesvr)
Vamos usar as fórmulas de cálculo vetorial em base ortonormal esférica, fazer tudo “na mão” e obter expressão final em hat r,hattheta,hatphi.

Passo 2

Calcular primeiro omega=nablatimesv. Em esférico ortonormal,
omegar =1rsinthetal[partialtheta(sintheta,vphi)-partialphi(vtheta)r], omegatheta =1rl[1sinthetapartialphi(vr)-partialr(r,vphi)r], omegaphi =1rl[partialr(r,vtheta)-partialtheta(vr)r]
Como vr=sintheta, vtheta=0, vphi=r^5 e não há dependência em phi, dá-se:
omegar =1rsinthetal[partialtheta(r^5sintheta)r] =r^5costhetarsintheta =r^4cottheta,
omegatheta =-1rpartialr(rcdot r^5) =-1r(6r^5) =-6r^4,
omegaphi =-1r,partialtheta(sintheta) =-costhetar
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nablatimesv =omega =r^4cottheta,hat r ;-;6r^4,hattheta ;-;costhetar,hatphi

Passo 3

Em seguida formamos o produto vetorial
vtimesomega. Usando a base ortonormal (hat r,hattheta,hatphi) e
v=(vr,0,vphi), omega=(omegar,omegatheta,omegaphi),
(vtimesomega)r = vtheta,omegaphi-vphi,omegatheta =-r^5(-6r^4) =6r^9,
(vtimesomega)theta = vphi,omegar-vr,omegaphi =r^5,(r^4cottheta) -sintheta!l(-costhetarr) =r^9cottheta+sinthetacosthetar,
(vtimesomega)phi = vr,omegatheta-vtheta,omegar =sintheta,(-6r^4) =-6r^4sintheta
Assim
vtimes(nablatimesv) =6r^9,hat r ;+;l(r^9cottheta+sinthetacosthetarr)hattheta ;-;6r^4sintheta,hatphi

Passo 4

Agora calculamos
-nablatimes(vtimesomega). Chamemos
A=vtimesomega e apliquemos a fórmula do rotacional em esférico:
(nablatimesA)r =1rsinthetal[partialtheta(sintheta,Aphi) -partialphi(Atheta)r],
(nablatimesA)theta =1rl[1sinthetapartialphi(Ar) -partialr(r,Aphi)r],
(nablatimesA)phi =1rl[partialr(r,Atheta) -partialtheta(Ar)r]
Como não há phi-dependência, levam a
(nablatimesA)r =1rsinthetapartialthetal(sinthetacdot(-6r^4sintheta)r) =-12r^4sinthetacosthetarsintheta =-12r^3costheta,
(nablatimesA)theta =-1r,partialrl(rcdot(-6r^4sintheta)r) =-1r(-30r^4sintheta) =30r^3sintheta,
(nablatimesA)phi =1rl[partialrl(r,(r^9cottheta+tfracsinthetacosthetar)r) -partialtheta(6r^9)r] =10r^8cottheta1 =10r^8cottheta
Portanto
-nablatimesl(vtimes(nablatimesv)r) =12r^3costheta,hat r ;-;30r^3sintheta,hattheta ;-;10r^8cottheta,hatphi

Passo 5

Para o termo viscoso precisamos nabla^2(nablatimesv). Usamos a identidade
nabla^2omega =-nablatimes(nablatimesomega), omega=nablatimesv
Já temos omegar=r^4cottheta, omegatheta=-6r^4, omegaphi=-costheta/r.
Calculemos então nablatimesomega (isto é B=nablatimesomega) com as mesmas fórmulas do passo 2:
Br=(nablatimesomega)r,
Br =1rsinthetapartialthetal(sintheta,omegaphir) =1rsinthetapartialtheta!l(-sinthetacosthetarr) =-cos2thetar^2sintheta,
Btheta =1rl[1sinthetapartialphi(omegar) -partialr(r,omegaphi)r] =0, Bphi =1rl[partialr(r,omegatheta)-partialtheta(omegar)r] =-30r^3+r^3sin^2theta
Então nabla^2omega=-nablatimes B. Novamente,
(nablatimes B)r,theta,phi
(nablatimes B)r =1rsinthetapartialthetal(sintheta,Bphir) =-r^2costhetal(30sintheta+1sin^3thetar),
(nablatimes B)theta =-1rpartialrl(r,Bphir) =-(120r^2-4r^2csc^2theta),
(nablatimes B)phi =-1rpartialtheta(Br) =-costheta,(3sin^2theta+cos^2theta)r^3sin^2theta
Portanto
nabla^2(nablatimesv) =-nablatimes B =underbracer^2costhetal(30sintheta+1sin^3thetar)er ,hat r ;+;underbracel(120r^2-4r^2csc^2thetar)etheta ,hattheta ;+;underbracecostheta,(3sin^2theta+cos^2theta)r^3sin^2thetaephi ,hatphi

Resposta

Lado esquerdo
-nablatimesl(vtimes(nablatimesv)r) =12r^3costheta,hat r ;-;30r^3sintheta,hattheta ;-;10r^8cottheta,hatphi
Termo difusivo
nabla^2(nablatimesv) =r^2costhetal(30sintheta+1sin^3thetar)hat r +l(120r^2-4r^2csc^2thetar)hattheta +costheta,(3sin^2theta+cos^2theta)r^3sin^2theta,hatphi

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