- Determine as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito na elise
.
Passo 1
O enunciado pede para inscrever um retângulo na elipse
de modo que sua área seja máxima. Como a elipse é simétrica em relação aos eixos, podemos tomar um vértice do retângulo em
no primeiro quadrante. O conteúdo é otimização de função de uma variável com restrição.
Passo 2
Cada retângulo assim inscrito tem vértices
, logo a área vale
Da equação da elipse, isolamos
:
Substituindo em
, obtemos a função de uma variável
Passo 3
Para maximizar
no intervalo
, derivamos e igualamos a zero. Usando regra do produto e cadeia,
Logo
dá
Passo 4
Com
, encontramos
Os lados do retângulo são
e
, isto é
Resposta
As dimensões do retângulo de área máxima são
por
.