1. Determine as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito na elise x^24+y^29=1.

Passo 1

O enunciado pede para inscrever um retângulo na elipse
x^24+y^29=1
de modo que sua área seja máxima. Como a elipse é simétrica em relação aos eixos, podemos tomar um vértice do retângulo em (x,y) no primeiro quadrante. O conteúdo é otimização de função de uma variável com restrição.

Passo 2

Cada retângulo assim inscrito tem vértices (pm x,pm y), logo a área vale
A=4xy
Da equação da elipse, isolamos y:
x^24+y^29=1 Longrightarrow y=3raiz1-x^24
Substituindo em A, obtemos a função de uma variável
A(x)=4xcdot 3raiz1-x^24 =12,xraiz1-x^24

Passo 3

Para maximizar A(x) no intervalo 0<x<2, derivamos e igualamos a zero. Usando regra do produto e cadeia,
A'(x) =12l(raiz1-tfracx^24 +xcdot12raiz1-tfracx^24cdotl(-tfracx2r)r) =12,1-tfracx^22raiz1-tfracx^24
Logo A'(x)=0
1-x^22=0 Longrightarrow x^2=2 Longrightarrow x=raiz2

Passo 4

Com x=raiz2, encontramos
y=3raiz1-(raiz2)^24 =3raiz1-tfrac24 =3raiztfrac12 =3raiz22
Os lados do retângulo são 2x e 2y, isto é
2x=2raiz2, 2y=2cdot3raiz22=3raiz2

Resposta

As dimensões do retângulo de área máxima são
2raiz2 por 3raiz2.

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