Exercício 6. Encontre o laplaciano dos seguintes campos escalares.
T(x, y, z)=sin x sin y sin z.

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar
T(x,y,z)=sin xsin ysin z
e pede o laplaciano nabla^2T. Vamos usar que o laplaciano de um escalar em coordenadas cartesianas é a soma das segundas derivadas parciais em x, y e z.

Passo 2

Lembrando a definição:
nabla^2T = partial^2Tpartial x^2 + partial^2Tpartial y^2 + partial^2Tpartial z^2

Passo 3

Calcular partial^2Tpartial x^2. Primeiro
partial Tpartial x = cos x,sin y,sin z,
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partial^2Tpartial x^2 = -sin x,sin y,sin z

Passo 4

Calcular partial^2Tpartial y^2. De modo análogo,
partial Tpartial y = sin x,cos y,sin z,
portanto
partial^2Tpartial y^2 = -sin x,sin y,sin z

Passo 5

Calcular partial^2Tpartial z^2. Similarmente,
partial Tpartial z = sin x,sin y,cos z,
e
partial^2Tpartial z^2 = -sin x,sin y,sin z

Passo 6

Somando as três segundas derivadas:
nabla^2T = l(-sin x,sin y,sin zr) + l(-sin x,sin y,sin zr) + l(-sin x,sin y,sin zr) = -3,sin x,sin y,sin z

Resposta

nabla^2T = -3,sin x,sin y,sin z.

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