Calcule d/z dt nos seguintes casos:
(a) z = y * e^(x) + x * e^(y) ; x = t e y = sen(t)

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a derivada de em relação a , ou seja, . A função dada é , onde e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com a regra da cadeia, já que depende de e , que por sua vez dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir e pelas suas expressões em termos de . Como e , temos:

Passo 3

Agora, queremos encontrar . Para isso, vamos derivar cada termo de em relação a . Vamos lembrar que a derivada de é e a derivada de é .

Passo 4

Derivando o primeiro termo :
Aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Aqui, e , então:
Portanto:

Passo 5

Derivando o segundo termo :
Novamente, aplicamos a regra do produto. Aqui, e , então:
Portanto:

Passo 6

Agora, somamos as derivadas dos dois termos para obter :

Passo 7

Podemos simplificar a expressão fatorando onde possível:

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a é:

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