Calcule d/z dt nos seguintes casos:
(d) z = u^2 v + v w^2 + u v w^3 ; u = t^2, v = t e w = t^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de em relação a , ou seja, . Estamos trabalhando com funções que dependem do tempo , então vamos usar as regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia para resolver. Precisaremos conhecer as derivadas das funções , e , além de aplicar essas regras para derivar a expressão de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que compõem :
E sabemos que:
Para encontrar , precisamos calcular as derivadas das funções , e em relação a :

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo da expressão de em relação a usando a regra do produto e a regra da cadeia.
  1. Primeiro termo:
Usamos a regra do produto:
  1. Segundo termo:
Também aplicamos a regra do produto:
  1. Terceiro termo:
Aqui, temos três funções multiplicadas, então aplicamos a regra do produto de forma estendida:

Passo 4

Vamos agora substituir as derivadas que calculamos no Passo 2 e as funções , , :
  1. Primeiro termo derivado:
  1. Segundo termo derivado:
  1. Terceiro termo derivado:

Resposta

Somando todos os termos derivados:

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