Calcule tg alpha, dados:
sen alpha=-2 raiz107 e 3 pi2<alpha<2 pi.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer: queremos calcular a tangente do ângulo alpha, sabendo que sen alpha = -dfrac2 raiz107 e que alpha está entre dfrac3pi2 e 2pi. Para resolver isso, vamos usar algumas relações básicas da trigonometria, como as identidades do seno, cosseno e tangente, além do Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que sen alpha nos dá a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa em um triângulo retângulo. Aqui, temos sen alpha = -dfrac2 raiz107. O sinal negativo indica que o seno é negativo, o que já sabemos que acontece no quarto quadrante ( dfrac3pi2 < alpha < 2pi).

Passo 3

Agora, para encontrar a tangente, precisamos do cosseno do ângulo alpha. Para isso, usamos a identidade trigonométrica fundamental:
sen^2 alpha + cos^2 alpha = 1
Substituindo o valor do seno:
(-dfrac2 raiz107)^2 + cos^2 alpha = 1 dfrac4 times 1049 + cos^2 alpha = 1 dfrac4049 + cos^2 alpha = 1

Passo 4

Resolvendo para cos^2 alpha:
cos^2 alpha = 1 - dfrac4049 cos^2 alpha = dfrac949
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
cos alpha = dfrac37
Como estamos no quarto quadrante, o cosseno é positivo.

Passo 5

Agora que temos sen alpha e cos alpha, podemos calcular a tangente usando a definição:
tg alpha = dfracsen alphacos alpha tg alpha = dfrac-dfrac2 raiz107dfrac37 tg alpha = -dfrac2 raiz103

Resposta

tg alpha = -dfrac2 raiz103

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