Sabendo que sen alpha=35 com 0<alpha<pi e cos beta=13 com 3 pi2<beta<2 pi. Calcule:
sen(alpha-beta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o seno da diferença entre dois ângulos, ou seja, sen(alpha - beta). Para isso, vamos usar trigonometria, mais especificamente a fórmula de seno da diferença. Vamos precisar dos valores de sen alpha, cos beta, e também descobrir cos alpha e sen beta.

Passo 2

Primeiro, sabemos que sen alpha = 35. Pra encontrar cos alpha, usamos a identidade trigonométrica básica:
cos^2 alpha = 1 - sen^2 alpha
Substituindo:
cos^2 alpha = 1 - (35)^2 = 1 - 925 = 1625
Então, cos alpha = 45 ou -45. Mas como 0 < alpha < pi, alpha está no primeiro ou segundo quadrante. No primeiro quadrante, o cosseno é positivo, e no segundo é negativo. Vamos ver qual se aplica.

Passo 3

Como sen alpha = 35 é positivo e 0 < alpha < pi, alpha está no primeiro ou segundo quadrante. Nesse caso, cos alpha será positivo se estiver no primeiro quadrante e negativo se estiver no segundo. Mas como a questão não especifica o quadrante exato, vamos considerar que cos alpha = 45 (assumindo que alpha esteja no primeiro quadrante).

Passo 4

Agora, vamos para beta. Sabemos que cos beta = 13 e 3pi2 < beta < 2pi, o que significa que beta está no quarto quadrante. Nesse quadrante, o cosseno é positivo e o seno é negativo. Para encontrar sen beta, usamos a identidade:
sen^2 beta = 1 - cos^2 beta = 1 - (13)^2 = 1 - 19 = 89
Então, sen beta = -2raiz23 (negativo no quarto quadrante).

Passo 5

Agora que temos todos os valores necessários, vamos usar a fórmula do seno da diferença:
sen(alpha - beta) = sen alpha cos beta - cos alpha sen beta
Substituindo os valores:
sen(alpha - beta) = (35)(13) - (45)(-2raiz23)
= 315 + 8raiz215 = 3 + 8raiz215

Resposta

sen(alpha - beta) = dfrac3 + 8raiz215

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