Se cos ^2 alpha-5 cos alpha+3-sen^2 alpha=0, calcule o valor de tg alpha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação trigonométrica: cos^2 alpha - 5 cos alpha + 3 - sin^2 alpha = 0. O conteúdo envolvido aqui são identidades trigonométricas, especificamente a relação entre seno e cosseno. Para resolver, vamos usar a identidade cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1 e algumas manipulações algébricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica básica: cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1. Isso significa que podemos expressar sin^2 alpha em termos de cos^2 alpha. Então, sin^2 alpha = 1 - cos^2 alpha.

Passo 3

Agora, vamos substituir sin^2 alpha na equação original:
cos^2 alpha - 5 cos alpha + 3 - (1 - cos^2 alpha) = 0
Simplificando os parênteses:
cos^2 alpha - 5 cos alpha + 3 - 1 + cos^2 alpha = 0

Passo 4

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
2cos^2 alpha - 5 cos alpha + 2 = 0
Isso é uma equação quadrática em termos de cos alpha.

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática 2cos^2 alpha - 5 cos alpha + 2 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
cos alpha = 5 pm raiz(-5)^2 - 4 cdot 2 cdot 22 cdot 2 = 5 pm raiz25 - 164 = 5 pm 34
Então, temos duas soluções:
cos alpha = 5 + 34 = 2 (não é possível, já que o cosseno não pode ser maior que 1) ãéíáã
cos alpha = 5 - 34 = 24 = 12

Passo 6

Com cos alpha = 12, podemos encontrar sin alpha usando a identidade sin^2 alpha = 1 - cos^2 alpha:
sin^2 alpha = 1 - (12)^2 = 1 - 14 = 34 Rightarrow sin alpha = raiz32

Passo 7

Finalmente, para encontrar tan alpha, usamos a relação tan alpha = sin alphacos alpha:
tan alpha = raiz3212 = raiz3

Resposta

O valor de tan alpha é raiz3.

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