Resolva em x a equação x^2-2 cos alpha x-1- sen^2 alpha=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação quadrática x^2 - 2 cos alpha , x - 1 - sin^2 alpha = 0 . Aqui, estamos lidando com uma equação do segundo grau em x . Para resolver, vamos precisar usar a fórmula de Bhaskara, que nos ajuda a encontrar as soluções de equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação quadrática geral ax^2 + bx + c = 0 . No nosso caso:
  • a = 1 (o coeficiente de x^2 )
  • b = -2 cos alpha (o coeficiente de x )
  • c = -1 - sin^2 alpha (o termo constante)

Passo 3

A fórmula de Bhaskara é dada por:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Vamos substituir os valores de a , b e c na fórmula.

Passo 4

Substituindo os coeficientes na fórmula:
x = -(-2 cos alpha) pm raiz(-2 cos alpha)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1 - sin^2 alpha)2 cdot 1
Simplificando:
x = 2 cos alpha pm raiz4 cos^2 alpha + 4 + 4 sin^2 alpha2

Passo 5

Observamos que cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1 . Então:
raiz4 cos^2 alpha + 4 + 4 sin^2 alpha = raiz4(cos^2 alpha + sin^2 alpha) + 4 = raiz4 cdot 1 + 4 = raiz8 = 2raiz2
Substituindo de volta:
x = 2 cos alpha pm 2raiz22 = cos alpha pm raiz2

Resposta

As soluções da equação são:
x = cos alpha + raiz2 e x = cos alpha - raiz2

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