primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as fórmulas
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas de dois produtos envolvendo vetores: o escalar (dot) e o vetorial (cross) de e . O conteúdo é derivação de produtos de vetores e vamos usar tanto a derivação direta quanto a regra do produto.
Passo 2
Derivando diretamente sem usar fórmula pronta, primeiro o produto escalar: . Logo,
Agora aplicando as fórmulas de regra do produto, primeiro as derivadas individuais: d r1dt=2 i+6t j+3t^2 k e d r2dt=4t^3 k. Para o escalar,
r1(t)cdotd r2dt=2tcdot0+3t^2cdot0+t^3cdot4t^3=4t^6,[6pt]d r1dtcdot r2(t)=2cdot0+6tcdot0+3t^2cdot t^4=3t^6,somando dá 4t^6+3t^6=7t^6, conferindo. Para o vetorial,
r1(t)timesd r2dt= i& j& k2t&3t^2&t^30&0&4t^3=12t^5 i-8t^4 j,[6pt]d r1dttimes r2(t)= i& j& k2&6t&3t^20&0&t^4=6t^5 i-2t^4 j
Somando 12t^5+6t^5=18t^5 em i e $ -8t4-2t4=-10t^4$ em -8t^4-2t^4=-10t^4, bate com o resultado direto.
Passo 5
Note que ambas as abordagens levam aos mesmos resultados, confirmando a consistência da regra do produto.