Calcule
dd t[r1(t) cdot r2(t)] e dd t[r1(t) times r2(t)]
primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as fórmulas
dd t[r1(t) cdot r2(t)]=r1(t) cdot d r2d t+d r1d t cdot r2(t)
e
dd t[r1(t) times r2(t)]=r1(t) times d r2d t+d r1d t times r2(t)
r1(t)=2 t i+3 t^2 j+t^3 k, r2(t)=t^4 k

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de dois produtos envolvendo vetores: o escalar (dot) e o vetorial (cross) de r1(t)=2t i+3t^2 j+t^3 k e r2(t)=t^4 k. O conteúdo é derivação de produtos de vetores e vamos usar tanto a derivação direta quanto a regra do produto.

Passo 2

Derivando diretamente sem usar fórmula pronta, primeiro o produto escalar: r1(t)cdot r2(t)=2tcdot0+3t^2cdot0+t^3cdot t^4=t^7. Logo,
ddt[ r1(t)cdot r2(t)]=ddt(t^7)=7t^6

Passo 3

Para o produto vetorial, calculemos
r1(t)times r2(t)= i& j& k2t&3t^2&t^30&0&t^4=3t^6, i-2t^5, j+0, k=3t^6 i-2t^5 j
Derivando isso:
ddt[ r1(t)times r2(t)]=ddt(3t^6) i-ddt(2t^5) j=18t^5 i-10t^4 j

Passo 4

Agora aplicando as fórmulas de regra do produto, primeiro as derivadas individuais: d r1dt=2 i+6t j+3t^2 k e d r2dt=4t^3 k. Para o escalar,
r1(t)cdotd r2dt=2tcdot0+3t^2cdot0+t^3cdot4t^3=4t^6,[6pt]d r1dtcdot r2(t)=2cdot0+6tcdot0+3t^2cdot t^4=3t^6,somando dá 4t^6+3t^6=7t^6, conferindo. Para o vetorial,
r1(t)timesd r2dt= i& j& k2t&3t^2&t^30&0&4t^3=12t^5 i-8t^4 j,[6pt]d r1dttimes r2(t)= i& j& k2&6t&3t^20&0&t^4=6t^5 i-2t^4 j
Somando 12t^5+6t^5=18t^5 em i e $ -8t4-2t4=-10t^4$ em -8t^4-2t^4=-10t^4, bate com o resultado direto.

Passo 5

Note que ambas as abordagens levam aos mesmos resultados, confirmando a consistência da regra do produto.

Resposta

As derivadas são
ddt[ r1(t)cdot r2(t)]=7t^6eddt[ r1(t)times r2(t)]=18t^5 i-10t^4 j

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