Seja r(t)=t 1+t^2 j+t^3 k. Determine
lim t 1 r(t) cdot[r^prime(t) times r^prime prime(t)]

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=t, i+t^2, j+t^3, k
e pede
limtto1 r(t)cdotl[ r'(t)times r''(t)r]
Isso é o produto misto entre r(t), sua derivada primeira e segunda; vamos precisar de derivadas vetoriais, produto vetorial e, por fim, limite.

Passo 2

Calculamos as derivadas:
r'(t)=ddtl(t,t^2,t^3r)=(1,,2t,,3t^2),
r''(t)=ddtl(1,2t,3t^2r)=(0,,2,,6t)

Passo 3

Agora usamos a definição de produto vetorial por determinante:
r'(t)times r''(t) = i& j& k 1&2t&3t^2 0&2&6t =l(6t^2,;-6t,;2r)

Passo 4

Em seguida fazemos o produto escalar com r(t)=(t,t^2,t^3):
r(t)cdotl( r'(t)times r''(t)r) =tcdot6t^2 ;+;t^2cdot(-6t);+;t^3cdot2 =6t^3-6t^3+2t^3=2t^3

Passo 5

Falta só avaliar o limite quando tto1:
limtto12t^3=2cdot1^3=2

Resposta

2

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