Esboce membros da família das curvas integrais dessas EDOs sem resolvê-las.
Esboce membros da família das curvas integrais dessas EDOs sem resolvê-las.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
com condição inicial
. O que se pede é esboçar membros da família de curvas integrais (ou seja, várias soluções para diferentes constantes de integração) sem resolver explicitamente a EDO. Vamos usar o conceito de campo de direções para guiar o traçado.
Passo 2
Para construir o campo de direções, lembramos que a inclinação da tangente em cada ponto
é dada por
Como essa expressão não depende de
- se
- se
- se
Passo 3
Com esse padrão de retas tangentes traçado ao longo do eixo
, percebemos que as curvas integrais devem ser sempre côncavas para cima (a inclinação cresce com
). No ponto
todas as curvas têm mínimo local (reta horizontal).
Agora esboçamos algumas curvas integrais: escolhemos valores diferentes de (por exemplo,
) e desenhamos curvas que cruzam
nesses valores, seguindo as retas tangentes do campo de direções. Isso gera uma família de curvas semelhantes a parábolas transladadas verticalmente.
Agora esboçamos algumas curvas integrais: escolhemos valores diferentes de
Passo 4
O esboço final mostra várias curvas começando em
com diferentes
, todas com inclinações negativas para
, horizontais em
e positivas para
, formando uma família de “parábolas” deslocadas verticalmente.
Resposta
As curvas integrais formam uma família de curvas côncavas para cima, com inclinação negativa para
, reta horizontal em
e inclinação positiva para
. Cada membro cruza
em
, resultando em parábolas deslocadas verticalmente no plano
.