Esboce membros da família das curvas integrais dessas EDOs sem resolvê-las.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO dydt=t+1 com condição inicial y(0)=1. O que se pede é esboçar membros da família de curvas integrais (ou seja, várias soluções para diferentes constantes de integração) sem resolver explicitamente a EDO. Vamos usar o conceito de campo de direções para guiar o traçado.

Passo 2

Para construir o campo de direções, lembramos que a inclinação da tangente em cada ponto (t,y) é dada por
dydt=t+1
Como essa expressão não depende de y, todas as retas tangentes em uma mesma abscissa t têm a mesma inclinação. Para diferentes valores de t:
- se t<-1, então t+1<0 (inclinação negativa);
- se t=-1, então t+1=0 (reta horizontal);
- se t>-1, então t+1>0 (inclinação positiva e cresce linearmente com t).

Passo 3

Com esse padrão de retas tangentes traçado ao longo do eixo t, percebemos que as curvas integrais devem ser sempre côncavas para cima (a inclinação cresce com t). No ponto t=-1 todas as curvas têm mínimo local (reta horizontal).
Agora esboçamos algumas curvas integrais: escolhemos valores diferentes de y(0)=C (por exemplo, C=0,1,2) e desenhamos curvas que cruzam t=0 nesses valores, seguindo as retas tangentes do campo de direções. Isso gera uma família de curvas semelhantes a parábolas transladadas verticalmente.

Passo 4

O esboço final mostra várias curvas começando em t=0 com diferentes y(0)=C, todas com inclinações negativas para t<-1, horizontais em t=-1 e positivas para t>-1, formando uma família de “parábolas” deslocadas verticalmente.

Resposta

As curvas integrais formam uma família de curvas côncavas para cima, com inclinação negativa para t<-1, reta horizontal em t=-1 e inclinação positiva para t>-1. Cada membro cruza t=0 em y(0)=C, resultando em parábolas deslocadas verticalmente no plano (t,y).

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