Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o seguinte exercício: calcular a derivada de $ \ln \left( \frac{1 + 2 \tan x}{1 + \sqrt{x}} \right) $. Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a derivada de funções logarítmicas que envolvem razão de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{u’}{u} $. Aplicando isso à nossa função, temos:
Passo 3
Agora, vamos focar na derivada do quociente $ \frac{1 + 2 \tan x}{1 + \sqrt{x}} $. Para isso, usaremos a regra do quociente, que diz que $ \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{[g(x)]^2} $.
Aqui, $ f(x) = 1 + 2 \tan x $ e $ g(x) = 1 + \sqrt{x} $.
Passo 4
Vamos calcular $ f’(x) $ e $ g’(x) $:
Passo 5
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Voltando à derivada original:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada é: