Calcule:
dd x[ln (1+2 tan x1+raizx)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o seguinte exercício: calcular a derivada de $ \ln \left( \frac{1 + 2 \tan x}{1 + \sqrt{x}} \right) $. Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a derivada de funções logarítmicas que envolvem razão de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{u’}{u} $. Aplicando isso à nossa função, temos:
ln(u)

Passo 3

Agora, vamos focar na derivada do quociente $ \frac{1 + 2 \tan x}{1 + \sqrt{x}} $. Para isso, usaremos a regra do quociente, que diz que $ \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{[g(x)]^2} $.
Aqui, $ f(x) = 1 + 2 \tan x $ e $ g(x) = 1 + \sqrt{x} $.

Passo 4

Vamos calcular $ f’(x) $ e $ g’(x) $:
f'(x)
g'(x)

Passo 5

Agora, aplicando a regra do quociente:
ddx ( 1 + 2 tan x1 + raizx ) = 2 sec^2 x (1 + raizx) - (1 + 2 tan x) ( 12 raizx )(1 + raizx)^2

Passo 6

Voltando à derivada original:
ddx [ ln ( 1 + 2 tan x1 + raizx ) ] = 2 sec^2 x (1 + raizx) - (1 + 2 tan x) ( 12 raizx ) (1 + raizx)^2 1 + 2 tan x1 + raizx

Passo 7

Simplificando a expressão:
= 2 sec^2 x (1 + raizx) - 1 + 2 tan x2 raizx(1 + raizx)^2 times 1 + raizx1 + 2 tan x
= 2 sec^2 x (1 + raizx) - 1 + 2 tan x2 raizx(1 + raizx) (1 + 2 tan x)

Resposta

A derivada é:
ddx [ ln ( 1 + 2 tan x1 + raizx ) ] = 2 sec^2 x (1 + raizx) - 1 + 2 tan x2 raizx(1 + raizx) (1 + 2 tan x)

Exercícios relacionados