Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
x^2 y^prime prime-x y^prime=x^3 e^x sabendo que 1 e x^2 são duas soluções da equação homogênea associada.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
x^2y''-x,y'=x^3e^x,
sabendo que as soluções da homogênea são y1=1 e y2=x^2. Vamos usar o método de variação dos parâmetros para obter uma solução particular yp e, então, escrever
y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)+yp(x)

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão
y''+p(x),y'+q(x),y=g(x)
Dividindo tudo por x^2 (assumindo xneq0) obtemos
y''-1xy'=x e^x,
ou seja, g(x)=x e^x.

Passo 3

Pela variação de parâmetros, buscamos
yp=u1(x),y1(x)+u2(x),y2(x),
com as condições auxiliares
u1',y1+u2',y2=0 e u1',y1'+u2',y2'=g(x)

Passo 4

Substituindo y1=1, y2=x^2, y1'=0, y2'=2x e g(x)=x e^x, o sistema fica
u1'+u2',x^2=0, 0cdot u1'+2x,u2'=x e^x

Passo 5

Da segunda equação tiramos
u2'=x e^x2x=e^x2,
e da primeira
u1'=-x^2,u2'=-x^2e^x2

Passo 6

Agora integramos:
u2(x)=integral e^x2,dx=e^x2,
e, sabendo que integral x^2e^xdx=e^x(x^2-2x+2),
u1(x)=-12integral x^2e^x,dx=-12,e^x(x^2-2x+2)

Passo 7

Formamos a solução particular
yp=u1cdot1 + u2cdot x^2 =-tfrac12,e^x(x^2-2x+2)+tfrac12,e^x,x^2

Passo 8

Simplificando yp:
yp =e^xl(-tfracx^2-2x+22+tfracx^22r) =e^x,2x-22 =e^x(x-1)

Passo 9

Portanto, a solução geral é
y(x)=C1cdot1 + C2,x^2 + e^x(x-1)

Resposta

boxedy(x)=C1+C2x^2+e^x(x-1)

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