Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Estamos lidando com limites em cálculo, especificamente envolvendo funções trigonométricas e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades dos limites e as expansões em série de Taylor para a função cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o numerador para facilitar a análise:
Sabemos que a função cosseno pode ser expandida em uma série de Taylor em torno de 0:
Aqui, $ y = 3x $. Vamos substituir:
Passo 3
Agora, substituímos essa expansão no numerador da nossa expressão original:
Simplificando:
Passo 4
Agora, colocamos essa expressão de volta na fração original:
Passo 5
Ao calcular o limite quando $ x $ tende a 0, os termos que contêm $ x $ desaparecem:
Resposta
O limite é $ -\frac{5}{2} $.