Calcule:
lim x 0 cos (3 x)-1+2 x^2x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
lim x 0 cos (3 x)-1+2 x^2x^2
Estamos lidando com limites em cálculo, especificamente envolvendo funções trigonométricas e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades dos limites e as expansões em série de Taylor para a função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o numerador para facilitar a análise:
cos(3x) - 1 + 2x^2
Sabemos que a função cosseno pode ser expandida em uma série de Taylor em torno de 0:
cos(y) = 1 - y^22 + y^424 - dots
Aqui, $ y = 3x $. Vamos substituir:
y = 3x

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão no numerador da nossa expressão original:
cos(3x) - 1 + 2x^2 = (1 - 9x^22 + 81x^424 - dots) - 1 + 2x^2
Simplificando:
= -9x^22 + 2x^2 + 81x^424 - dots = -5x^22 + 81x^424 - dots

Passo 4

Agora, colocamos essa expressão de volta na fração original:
cos(3x) - 1 + 2x^2x^2 = -5x^22 + 81x^424 - dotsx^2 = -52 + 81x^224 - dots

Passo 5

Ao calcular o limite quando $ x $ tende a 0, os termos que contêm $ x $ desaparecem:
x

Resposta

O limite é $ -\frac{5}{2} $.

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