Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado.
a) em
b) em
c) em
d) em
e) em p=0
f) g(x)=raizx^2+x em p=1
g) y=cos x^2 em p=0
h) y=raiz1+raizx em p=1
i) y=x^x em p=1 (Sugestão. Veja Exemplo 3-6.3.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = 1x+1 e precisa calcular a derivada dela no ponto p = 2 usando a definição de derivada. Isso envolve entender o que é derivada e como aplicar a fórmula básica para encontrá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função f no ponto p é o limite da taxa de variação da função quando o intervalo tende a zero. Matemáticamente, isso é escrito como:
f'(p) = limh to 0 f(p + h) - f(p)h
Aqui, h representa um pequeno incremento em x .
Passo 3
Aplicando isso à nossa função f(x) = 1x+1 no ponto p = 2 , temos:
f'(2) = limh to 0 f(2 + h) - f(2)h
Passo 4
Agora, substituímos f(2 + h) e f(2) na expressão:
f'(2) = limh to 0 1(2 + h) + 1 - 12 + 1h
Simplificando os denominadores:
f'(2) = limh to 0 13 + h - 13h
Passo 5
Para resolver essa diferença de frações, encontramos um denominador comum:
f'(2) = limh to 0 3 - (3 + h)(3 + h) cdot 3 cdot h
Simplificando o numerador:
f'(2) = limh to 0 -h9 + 3h
Passo 6
Agora, cancelamos o h no numerador e no denominador:
f'(2) = limh to 0 -19 + 3h
Passo 7
Por fim, aplicamos o limite quando h tende a zero:
f'(2) = -19 + 0 = -19
Resposta
A derivada de f(x) = 1x+1 no ponto p = 2 é f'(2) = -19 .