Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado.
a) f(x)=1x+1 em p=2
b) g(x)=raiz2 x+1 em p=0
c) y=sen pi x em p=1
d) f(x)=e^x^2 em p=0
e) g(x)=llx^3 / 2 sen 1x^2 & se x neq 0 0 & se x=0 em p=0
f) g(x)=raizx^2+x em p=1
g) y=cos x^2 em p=0
h) y=raiz1+raizx em p=1
i) y=x^x em p=1 (Sugestão. Veja Exemplo 3-6.3.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = 1x+1 e precisa calcular a derivada dela no ponto p = 2 usando a definição de derivada. Isso envolve entender o que é derivada e como aplicar a fórmula básica para encontrá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função f no ponto p é o limite da taxa de variação da função quando o intervalo tende a zero. Matemáticamente, isso é escrito como:
f'(p) = limh to 0 f(p + h) - f(p)h
Aqui, h representa um pequeno incremento em x .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função f(x) = 1x+1 no ponto p = 2 , temos:
f'(2) = limh to 0 f(2 + h) - f(2)h

Passo 4

Agora, substituímos f(2 + h) e f(2) na expressão:
f'(2) = limh to 0 1(2 + h) + 1 - 12 + 1h
Simplificando os denominadores:
f'(2) = limh to 0 13 + h - 13h

Passo 5

Para resolver essa diferença de frações, encontramos um denominador comum:
f'(2) = limh to 0 3 - (3 + h)(3 + h) cdot 3 cdot h
Simplificando o numerador:
f'(2) = limh to 0 -h9 + 3h

Passo 6

Agora, cancelamos o h no numerador e no denominador:
f'(2) = limh to 0 -19 + 3h

Passo 7

Por fim, aplicamos o limite quando h tende a zero:
f'(2) = -19 + 0 = -19

Resposta

A derivada de f(x) = 1x+1 no ponto p = 2 é f'(2) = -19 .

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