Determine uma reta paralela a x+y=1 e tangente à curva y^3+x y+x^3=0 em um ponto (x0, y0), com x0<0 e y0<0.

Passo 1

O enunciado pede a reta paralela a ,x+y=1 (que tem coeficiente angular -1) e que seja tangente à curva definida implicitamente por
y^3+x,y+x^3=0
num ponto (x0,y0) em que x0<0 e y0<0. Para isso, vamos usar derivação implícita para obter dydx e depois impor dydx=-1, formando um sistema com a própria equação da curva.

Passo 2

Derivando implicitamente
y^3+x,y+x^3=0
em relação a x, temos
3y^2,dydx ;+; l(y + x,dydxr);+;3x^2=0
Agrupando os termos com dydx:
l(3y^2+xr),dydx ;+;y+3x^2=0

Passo 3

Isolando dydx, obtemos
dydx =-y+3x^23y^2+x

Passo 4

Como queremos a reta tangente paralela a x+y=1, impomos
dydx=-1
Logo
-y+3x^23y^2+x=-1 Longrightarrow y+3x^23y^2+x=1 Longrightarrow y+3x^2=3y^2+x
Reorganizando:
3x^2-3y^2-x+y=0 Longrightarrow (x-y)l(3(x+y)-1r)=0
Dessa fatoração saem duas alternativas:
1 x=y.
2 x+y=tfrac13.

Passo 5

Substituindo cada caso na equação da curva y^3+x,y+x^3=0:
  • Se x+y=tfrac13 não há solução real que satisfaça a curva (fica um resíduo tfrac127neq0).
  • Se x=y, então a curva vira y^3+y^2+y^3=2y^3+y^2=y^2(2y+1)=0 cujas soluções são y=0 ou y=-tfrac12. Como queremos x<0 e y<0, escolhemos x0=y0=-tfrac12

Passo 6

A reta desejada tem coeficiente angular -1 e passa por l(-tfrac12,-tfrac12r). Em forma y=-x+c, obtemos
-tfrac12=-l(-tfrac12r)+c Longrightarrow -tfrac12=tfrac12+c Longrightarrow c=-1
Logo a reta é
y=-x-1,
ou equivalentemente
x+y+1=0

Resposta

A reta paralela a x+y=1 e tangente à curva em x0<0,,y0<0 é
boxedx+y+1=0

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