Determine uma reta paralela a
e tangente à curva
em um ponto
, com
e
.
Passo 1
O enunciado pede a reta paralela a
(que tem coeficiente angular
) e que seja tangente à curva definida implicitamente por
num ponto
em que
e
. Para isso, vamos usar derivação implícita para obter
e depois impor
, formando um sistema com a própria equação da curva.
Passo 2
Derivando implicitamente
em relação a
, temos
Agrupando os termos com
:
Passo 3
Isolando
, obtemos
Passo 4
Como queremos a reta tangente paralela a
, impomos
Logo
Reorganizando:
Dessa fatoração saem duas alternativas:
.
.
Passo 5
Substituindo cada caso na equação da curva
:
- Se
não há solução real que satisfaça a curva (fica um resíduo ). - Se
, então a curva vira cujas soluções são ou . Como queremos e , escolhemos
Passo 6
A reta desejada tem coeficiente angular
e passa por
. Em forma
, obtemos
Logo a reta é
ou equivalentemente
Resposta
A reta paralela a
e tangente à curva em
é