Utilize o primeiro princípio de indução para mostrar que são válidas as seguintes desigualdades:
, para todo
.
Passo 1
Vamos provar por indução a propriedade
para todo
. A prova por indução consiste em dois passos: verificar o caso base e depois mostrar que, se
vale, então
também vale.
Passo 2
Caso base (
):
Calculamos
Calculamos
e vemos que
Portanto
é verdadeira.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que
seja verdadeira para algum
, isto é,
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Passo 4
Para concluir que
vale, basta verificar que
Note que
porque
. Logo
e, por transitividade,
Isso mostra que
.
Resposta
Pelo princípio da indução,
vale para todo
.