Utilize o primeiro princípio de indução para mostrar que são válidas as seguintes desigualdades:
2^n>n, para todo n in N.

Passo 1

Vamos provar por indução a propriedade
P(n)colon 2^n > n
para todo ninN. A prova por indução consiste em dois passos: verificar o caso base e depois mostrar que, se P(k) vale, então P(k+1) também vale.

Passo 2

Caso base ( n=1):
Calculamos
2^1 = 2
e vemos que
2 > 1
Portanto P(1) é verdadeira.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que P(k) seja verdadeira para algum k>=1, isto é,
2^k > k
Multiplicando ambos os lados por 2>0, obtemos
2^k+1 = 2cdot 2^k > 2k

Passo 4

Para concluir que P(k+1) vale, basta verificar que
2k >= k+1
Note que
2k - (k+1) = k - 1 >= 0
porque k>=1. Logo 2k>= k+1 e, por transitividade,
2^k+1 > k+1
Isso mostra que P(k)implies P(k+1).

Resposta

Pelo princípio da indução, 2^n>n vale para todo ninN.

Exercícios relacionados