(a) Calcule pela definição a derivada da função y = x^3 - 3x no ponto x = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular, pela definição, a derivada da função no ponto . Isso envolve entender o conceito de derivada como a taxa de variação instantânea da função. Para resolver, vamos usar a definição básica de derivada usando o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada de uma função no ponto :
Aqui, representa a derivada de em .

Passo 3

No nosso caso, a função é e queremos encontrar a derivada em . Então, vamos substituir na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Vamos expandir o termo :
Então,

Passo 5

Em seguida, vamos calcular :

Passo 6

Substituindo de volta na fórmula da derivada:

Passo 7

Agora, podemos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por :
Como tende a 0, os termos com e desaparecem.

Resposta

Portanto, a derivada da função no ponto é:

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