(a) Calcule pela definição a derivada da função
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular, pela definição, a derivada da função
no ponto
. Isso envolve entender o conceito de derivada como a taxa de variação instantânea da função. Para resolver, vamos usar a definição básica de derivada usando o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada de uma função
no ponto
:
Aqui,
representa a derivada de
em
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
e queremos encontrar a derivada em
. Então, vamos substituir na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Vamos expandir o termo
:
Então,
Passo 5
Em seguida, vamos calcular
:
Passo 6
Substituindo de volta na fórmula da derivada:
Passo 7
Agora, podemos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por
:
Como
tende a 0, os termos com
e
desaparecem.
Resposta
Portanto, a derivada da função
no ponto
é: