Considere a curva C obtida pela interseç̧ão das superfícies z = raiz(x^2 + y^2) e z = y + 1 Mostre que o plano osculador a C é o mesmo em todos os pontos. O que podemos concluir disso?

Passo 1

Beleza! Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma curva que é gerada pela interseção de duas superfícies:
O conteúdo envolvido aqui é de Geometria Analítica, especificamente o estudo de curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar encontrar a equação da curva , determinar o plano osculador em qualquer ponto dessa curva e mostrar que esse plano é o mesmo em todos os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva que é a interseção das duas superfícies dadas. Como ambas as superfícies são igualadas a , podemos igualar as duas expressões:

Passo 3

Para simplificar essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada. Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo o lado direito:

Passo 4

Agora, subtraímos de ambos os lados para simplificar:
Essa é a equação da curva no plano .

Passo 5

Vamos parametrizar essa curva para facilitar os cálculos. Podemos escolher como parâmetro, então temos:
Então, a parametrização da curva é:

Passo 6

Para encontrar o plano osculador, precisamos determinar o vetor posição, o vetor tangente e o vetor normal na curva. Vamos calcular a derivada primeira e segunda da parametrização :
Derivada primeira (vetor tangente):
Derivada segunda:

Passo 7

O plano osculador é determinado pelo vetor tangente e pelo vetor normal . No nosso caso, e . Para encontrar a equação do plano, usamos o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal ao plano.
Cálculo do produto vetorial:
Então, o vetor normal ao plano osculador é .

Passo 8

Com o vetor normal e um ponto da curva , podemos escrever a equação do plano osculador. A forma geral da equação do plano é:
Onde é o vetor normal e é um ponto no plano. Substituindo:
Simplificando:
Ou seja,

Passo 9

Observamos que a equação do plano osculador não depende de . Isso significa que, para qualquer ponto da curva , o plano osculador é sempre o mesmo.

Resposta

O plano osculador a é sempre em todos os pontos da curva. Podemos concluir que a curva está contida em um único plano, ou seja, é uma curva planar.

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