Considere a curva obtida pela interseç̧ão das superfícies Mostre que o plano osculador a é o mesmo em todos os pontos. O que podemos concluir disso?
Passo 1
Beleza! Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma curva que é gerada pela interseção de duas superfícies:
O conteúdo envolvido aqui é de Geometria Analítica, especificamente o estudo de curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar encontrar a equação da curva , determinar o plano osculador em qualquer ponto dessa curva e mostrar que esse plano é o mesmo em todos os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da curva que é a interseção das duas superfícies dadas. Como ambas as superfícies são igualadas a , podemos igualar as duas expressões:
Passo 3
Para simplificar essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada. Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo o lado direito:
Passo 4
Agora, subtraímos de ambos os lados para simplificar:
Essa é a equação da curva no plano .
Passo 5
Vamos parametrizar essa curva para facilitar os cálculos. Podemos escolher como parâmetro, então temos:
Então, a parametrização da curva é:
Passo 6
Para encontrar o plano osculador, precisamos determinar o vetor posição, o vetor tangente e o vetor normal na curva. Vamos calcular a derivada primeira e segunda da parametrização :
Derivada primeira (vetor tangente):
Derivada segunda:
Passo 7
O plano osculador é determinado pelo vetor tangente e pelo vetor normal . No nosso caso, e . Para encontrar a equação do plano, usamos o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal ao plano.
Cálculo do produto vetorial:
Então, o vetor normal ao plano osculador é .
Passo 8
Com o vetor normal e um ponto da curva , podemos escrever a equação do plano osculador. A forma geral da equação do plano é:
Onde é o vetor normal e é um ponto no plano. Substituindo:
Simplificando:
Ou seja,
Passo 9
Observamos que a equação do plano osculador não depende de . Isso significa que, para qualquer ponto da curva , o plano osculador é sempre o mesmo.
Resposta
O plano osculador a é sempre em todos os pontos da curva. Podemos concluir que a curva está contida em um único plano, ou seja, é uma curva planar.