Considere o campo vetorial de forças F(x, y, z) = (x * y + z, x, 4 * z) e os pontos A1 = (1, 0, 0), A2 = (1, 0, pi) e A3 = (-1, 0, pi). Determine o trabalho realizado por F para deslocar uma partícula de A1 para A3 através da trajetória C = C1 U C2, em que C1 é o segmento que une A1 a A2 e C2 é o arco da circunferência cos(t), sen(t), pi, de A2 até A3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial de forças e três pontos no espaço: , e . A missão é descobrir quanto trabalho a força realiza ao mover uma partícula de para seguindo um caminho composto por dois trechos: primeiro, uma linha reta de para ( ), e depois, um arco de circunferência de para ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha para calcular o trabalho realizado por um campo de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho nesse contexto. O trabalho realizado por um campo de forças ao mover uma partícula ao longo de um caminho é dado pela integral de linha da força ao longo desse caminho. Matematicamente, isso é representado por:
Onde é o campo de forças e é um elemento infinitesimal do caminho .

Passo 3

Como nosso caminho é composto por duas partes ( e ), podemos dividir o trabalho total em duas integrais:
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 4

Calculando para o caminho :
é o segmento de reta de para .
Para parametrizar esse caminho, podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1:
Derivando em relação a , temos:
Agora, calculamos ao longo desse caminho:
O produto escalar é:
Integrando de 0 a 1:

Passo 5

Calculando para o caminho :
é o arco da circunferência de raio 1 no plano , indo de para .
Vamos parametrizar esse arco usando um ângulo , onde varia de 0 a :
Derivando em relação a , temos:
Calculando ao longo desse caminho:
O produto escalar é:
Simplificando:
Agora, vamos integrar de 0 a :
Vamos resolver cada termo separadamente:
  1. :
Sabemos que , então:
  1. :
Usamos substituição , então :
Porque e .
  1. :
Agora, somando os três resultados:

Resposta

O trabalho total realizado pelo campo ao deslocar a partícula de para ao longo da trajetória é:

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