Considere o campo vetorial de forças
e os pontos
e
. Determine o trabalho realizado por
para deslocar uma partícula de
para
através da trajetória
, em que
é o segmento que une
a
e
é o arco da circunferência
,
, de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial de forças
e três pontos no espaço:
,
e
. A missão é descobrir quanto trabalho a força
realiza ao mover uma partícula de
para
seguindo um caminho composto por dois trechos: primeiro, uma linha reta de
para
(
), e depois, um arco de circunferência de
para
(
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha para calcular o trabalho realizado por um campo de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho nesse contexto. O trabalho realizado por um campo de forças ao mover uma partícula ao longo de um caminho é dado pela integral de linha da força ao longo desse caminho. Matematicamente, isso é representado por:
Onde
é o campo de forças e
é um elemento infinitesimal do caminho
.
Passo 3
Como nosso caminho
é composto por duas partes (
e
), podemos dividir o trabalho total
em duas integrais:
Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 4
Calculando
para o caminho
:
Para parametrizar esse caminho, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1:
Derivando em relação a
, temos:
Agora, calculamos
ao longo desse caminho:
O produto escalar
é:
Integrando de 0 a 1:
Passo 5
Calculando
para o caminho
:
Vamos parametrizar esse arco usando um ângulo
, onde
varia de 0 a
:
Derivando em relação a
, temos:
Calculando
ao longo desse caminho:
O produto escalar
é:
Simplificando:
Agora, vamos integrar de 0 a
:
Vamos resolver cada termo separadamente:
-
:
Sabemos que
, então:
-
:
Usamos substituição
, então
:
Porque
e
.
-
:
Agora, somando os três resultados:
Resposta
O trabalho total realizado pelo campo
ao deslocar a partícula de
para
ao longo da trajetória
é: