Encontre a derivada da função em P0 na direção de A.
g(x, y) = x - (y^2 / x) + raiz(3) sec^-1(2xy), P0(1, 1),

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função no ponto na direção de um vetor . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada direcional. Precisamos calcular os gradientes da função e a direção do vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada por:
onde é o vetor gradiente de e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente . O gradiente é o vetor das derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos a derivada da função em relação a :
Portanto:

Passo 6

Agora, calculamos a derivada parcial em relação a :
Calculando a derivada:
Portanto:

Passo 7

Agora, avaliamos as derivadas parciais no ponto :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 8

Agora, vamos considerar o vetor . Para encontrar a derivada direcional, precisamos que seja um vetor unitário. Se não for unitário, normalizamos ele:
onde é o módulo de .

Passo 9

A derivada direcional é então o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é:

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