Encontre a derivada da função em na direção de . ,
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função no ponto na direção de um vetor . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada direcional. Precisamos calcular os gradientes da função e a direção do vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada por:
onde é o vetor gradiente de e é o vetor unitário na direção de .
Passo 3
Vamos calcular o gradiente . O gradiente é o vetor das derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a :
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos a derivada da função em relação a :
Portanto:
Passo 6
Agora, calculamos a derivada parcial em relação a :
Calculando a derivada:
Portanto:
Passo 7
Agora, avaliamos as derivadas parciais no ponto :
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 8
Agora, vamos considerar o vetor . Para encontrar a derivada direcional, precisamos que seja um vetor unitário. Se não for unitário, normalizamos ele:
onde é o módulo de .
Passo 9
A derivada direcional é então o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é: