Calcule pela definição de integral de superfície integralegral duplaS x d S onde S é a parte acima do plano x y da esfera x^2+y^2+z^2=9.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral de superfície
integral duplaS x,dS
onde S é o hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=9 (isto é, a parte com z>=0). O conteúdo envolve parametrização de superfícies e cálculo do elemento de área dS.

Passo 2

Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar S. Tomamos
r(phi,theta) = l(3sinphicostheta,;3sinphisintheta,;3cosphir),
com
;0<=phi<=pi/2; (ângulo polar do eixo z) e
;0<=theta<=2pi; (ângulo azimutal no plano xy).
O elemento de área é
dS = llvert rphitimes rthetarrvert,dphi,dtheta =9sinphi,dphi,dtheta

Passo 3

Na integral, x=3sinphicostheta, logo
integral duplaSx,dS =integral0^2pi!integral0^pi/2 l(3sinphicosthetar),(9sinphi),dphi,dtheta =27integral0^2picostheta,dtheta;integral0^pi/2sin^2phi,dphi

Passo 4

Observamos que
integral0^2picostheta,dtheta = 0,
portanto todo o produto vale zero, independentemente do valor de integral0^pi/2sin^2phi,dphi.

Resposta

0

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