O resultado de calcular a integral
integral x cdot e^x d x
É:
Escolha uma opção:a. e^x(x+1)+Cb. e^x(x+1)c. e^x(x+1)d. e^x x+Ce. e^x(x-1)+C

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral de x cdot e^x em relação a x . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como escolher as partes certas nessa técnica para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é integração por partes. É uma técnica que a gente usa quando tem o produto de duas funções na integral, tipo u cdot dv . A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Então, precisamos escolher qual parte da nossa integral vai ser u e qual vai ser dv .

Passo 3

No nosso caso, temos integral x cdot e^x , dx . Vamos escolher:
u = x e dv = e^x , dx
Agora, precisamos calcular du e v .

Passo 4

Calculando du :
du = ddx(x) , dx = 1 cdot dx = dx
Calculando v :
v = integral e^x , dx = e^x

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo nossos valores:
integral x cdot e^x , dx = x cdot e^x - integral e^x cdot dx

Passo 6

A próxima integral é simples:
integral e^x , dx = e^x + C
Então, substituindo de volta:
x cdot e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C

Resposta

A integral de x cdot e^x , dx é e^x(x - 1) + C . Portanto, a opção correta é:
e. e^x(x-1)+C

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