Seja F(x, y, z)=x y z i+x^2 z2 j+y k.
F é conservativo? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=xyz,i+x^2z2,j+y,k
e pergunta se F é conservativo. Vamos usar a condição clássica: em um domínio simplesmente conexo, um campo é conservativo se e somente se o seu rotacional (curl) for o vetor nulo.

Passo 2

Chamando
P(x,y,z)=xyz, Q(x,y,z)=x^2z2, R(x,y,z)=y,
o rotacional de F é dado por
nablatimesF = partial Rpartial y-partial Qpartial z[6pt] partial Ppartial z-partial Rpartial x[6pt] partial Qpartial x-partial Ppartial y
]

Passo 3

Calculamos cada componente:
partial Rpartial y=partialpartial y(y)=1, partial Qpartial z=partialpartial zl(x^2z2r)=x^22,
logo a primeira componente é
(nablatimesF)1 =1-x^22,
As outras componentes não precisam ser todas nulas se já encontramos uma não nula; basta observar que esta não se anula identicamente.

Passo 4

Como (nablatimesF)1=1-tfracx^22 não é zero para valores gerais de x, o rotacional de F não é o vetor nulo em todo o domínio. Portanto, o campo não é conservativo.

Resposta

F não é conservativo.

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