Esboce o gráfico da função, especificando o domínio e a imagem:
f(x)=|||x-1|-1|-1|

Passo 1

O enunciado nos pede para esboçar o gráfico de
f(x)=l|l|l|x-1r|-1r|-1r|
e especificar seu domínio e sua imagem.
O conteúdo envolve valores absolutos compostos, que são funções lineares por partes. Vamos:
1) identificar os pontos onde cada expressão dentro de um valor absoluto zera,
2) dividir o eixo real em intervalos com base nesses pontos,
3) calcular a fórmula de f(x) em cada intervalo e
4) concluir domínio, imagem e forma do gráfico.

Passo 2

Para encontrar os pontos de mudança de fórmula, resolvemos sucessivamente as igualdades internas:
1. lvert x-1rvert -1=0 lvert x-1rvert=1, ou seja x=0 ou x=2.
2. llvert lvert x-1rvert -1rrvert -1=0 lvert lvert x-1rvert -1rvert=1. Como lvert x-1rvert-1=pm1 leva a lvert x-1rvert=0 ou lvert x-1rvert=2, obtemos x=1, x=-1 ou x=3.
Combinando e ordenando, os pontos críticos são
x=-1,;0,;1,;2,;3

Passo 3

Entre esses pontos
Em cada intervalo vemos que:
  • de : reta decrescente com coeficiente ,
  • de a : reta crescente coeficiente ,
  • de a : reta decrescente coeficiente ,
  • de a : reta crescente coeficiente ,
  • de a : reta decrescente coeficiente ,
  • de em diante: reta crescente coeficiente .

Passo 4

Com isso, o gráfico é um “saw-tooth” infinito, tocando zero em x=-1,1,3 e atingindo valor 1 nos pontos x=0,2, e crescendo linearmente para +infty quando xtopminfty.

Resposta

Domínio: R
Imagem: [0,infty)
Esboço: função linear por partes com vértices em (-1,0),(0,1),(1,0),(2,1),(3,0) e segmentos de coeficiente alternando -1,+1.

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