Esboce o gráfico da função, especificando o domínio e a imagem:
Passo 1
O enunciado nos pede para esboçar o gráfico de
e especificar seu domínio e sua imagem.
O conteúdo envolve valores absolutos compostos, que são funções lineares por partes. Vamos: 1) identificar os pontos onde cada expressão dentro de um valor absoluto zera, 2) dividir o eixo real em intervalos com base nesses pontos, 3) calcular a fórmula de f(x) em cada intervalo e 4) concluir domínio, imagem e forma do gráfico.
Passo 2
Para encontrar os pontos de mudança de fórmula, resolvemos sucessivamente as igualdades internas: 1. lvert x-1rvert -1=0 dá lvert x-1rvert=1, ou seja x=0 ou x=2. 2. llvert lvert x-1rvert -1rrvert -1=0 dá lvert lvert x-1rvert -1rvert=1. Como lvert x-1rvert-1=pm1 leva a lvert x-1rvert=0 ou lvert x-1rvert=2, obtemos x=1, x=-1 ou x=3.
Combinando e ordenando, os pontos críticos são
x=-1,;0,;1,;2,;3
Passo 3
Entre esses pontos
Em cada intervalo vemos que:
de : reta decrescente com coeficiente ,
de a : reta crescente coeficiente ,
de a : reta decrescente coeficiente ,
de a : reta crescente coeficiente ,
de a : reta decrescente coeficiente ,
de em diante: reta crescente coeficiente .
Passo 4
Com isso, o gráfico é um “saw-tooth” infinito, tocando zero em x=-1,1,3 e atingindo valor 1 nos pontos x=0,2, e crescendo linearmente para +infty quando xtopminfty.
Resposta
Domínio: R
Imagem: [0,infty)
Esboço: função linear por partes com vértices em (-1,0),(0,1),(1,0),(2,1),(3,0) e segmentos de coeficiente alternando -1,+1.