Calcule pela definição as seguintes transformadas de Laplace:
f(t)=t e^{a t},

Passo 1

O enunciado pede para calcular, pela definição, a transformada de Laplace da função f(t)=t e^{a t}.
Informações dadas:
  • A função é f(t)=t e^{a t} para t\ge 0.
  • a é uma constante (real, ou complexa fixa).
  • A pergunta implícita é: encontrar \mathcal{L}\{t e^{a t}\}(s) e indicar a região de convergência em termos de s.

Passo 2

Vou escrever a definição da transformada de Laplace e explicar cada símbolo para ficar claro.
A definição é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt.
Aqui:
  • f(t) é a função no tempo (aqui f(t)=t e^{a t}).
  • s é a variável complexa da transformada.
  • A integral é imprópria, então ela só existe quando o integral converge (ou seja, o integrando decai rápido o suficiente quando t\to\infty).
Para a nossa função, substituímos f(t) e juntamos os exponenciais:
f(t)\,e^{-s t} = t e^{a t} e^{-s t} = t e^{-(s-a)t}.
Portanto a transformada que precisamos calcular é
\mathcal{L}\{t e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t\,e^{-(s-a)t}\,dt.
Para que a integral convirja precisamos que o fator exponencial decaia quando t\to\infty, isto é, que \operatorname{Re}(s-a)>0 ou equivalentemente \operatorname{Re}(s)>a. Vou assumir essa condição durante os cálculos e depois deixo explícita a região de convergência.

Passo 3

A integral a calcular é uma integral imprópria do tipo polinômio vezes exponencial. Um método direto e seguro para integrá-la é a integração por partes.
Recordando a fórmula da integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são funções de t, e du e v são suas diferenciais/antiderivadas.
Escolho:
u = t,\qquad dv = e^{-(s-a)t}\,dt.
Assim:
du = dt,\qquad v = \int e^{-(s-a)t}\,dt = -\frac{1}{s-a}\,e^{-(s-a)t},
válido desde que s\neq a; para a convergência precisamos ainda \operatorname{Re}(s-a)>0.

Passo 4

Aplicando integração por partes à integral
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-(s-a)t}\,dt,
temos
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-(s-a)t}\,dt = \left. t\left(-\frac{1}{s-a}e^{-(s-a)t}\right)\right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s-a}e^{-(s-a)t}\right)\,dt.
Escrevendo de forma mais limpa:
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-(s-a)t}\,dt = -\frac{1}{s-a}\left[ \left. t e^{-(s-a)t}\right|_{0}^{\infty} \right] + \frac{1}{s-a}\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt.

Passo 5

Avalio o termo de fronteira \left. t e^{-(s-a)t}\right|_{0}^{\infty}.
  • Em t=0 esse termo vale 0 porque o fator t anula tudo: \left. t e^{-(s-a)t}\right|_{t=0}=0.
  • No limite t\to\infty: como \operatorname{Re}(s-a)>0, o fator e^{-(s-a)t} decai exponencialmente (muito mais rápido que o crescimento linear de t). Portanto
\lim_{t\to\infty} t e^{-(s-a)t} = 0.
Isso justifica que o termo de fronteira no infinito é 0.
Logo o termo de fronteira total é 0-0=0, e a integral reduz-se a
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-(s-a)t}\,dt = \frac{1}{s-a}\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt,
ainda sob a condição \operatorname{Re}(s)>a.

Passo 6

Agora calculo a integral exponencial restante:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt.
Uma antiderivada de e^{-(s-a)t} é -\dfrac{1}{s-a}e^{-(s-a)t}. Avaliando de 0 a \infty (novamente usando \operatorname{Re}(s-a)>0 para anular o termo no infinito) obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt = \left. -\frac{1}{s-a}e^{-(s-a)t}\right|_{0}^{\infty} = 0 -\left(-\frac{1}{s-a}\right) = \frac{1}{s-a}.

Passo 7

Substituindo esse resultado na expressão obtida no Passo 5:
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-(s-a)t}\,dt = \frac{1}{s-a}\cdot\frac{1}{s-a} = \frac{1}{(s-a)^{2}},
válido para \operatorname{Re}(s)>a.
(Opção alternativa curta: como lembrete, há também uma propriedade útil
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s) = -\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\}(s).
Aplicando com f(t)=e^{a t} \mathcal{L}\{t e^{a t}\}(s) = -\dfrac{d}{ds}\!\left(\dfrac{1}{s-a}\right)=\dfrac{1}{(s-a)^2}, a mesma resposta — mas aqui fizemos o cálculo direto pela definição, como você pediu.)

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t e^{a t}\}(s)=\frac{1}{(s-a)^{2}},\quad \operatorname{Re}(s)>a

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