Classifique as funções abaixo como crescentes, decrescentes, constantes ou nenhuma delas em seus domínios naturais:
Justifique.
Passo 1
O enunciado pede: classificar a função
como crescente, decrescente, constante ou nenhuma delas, considerando seu domínio natural.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio natural de uma função polinomial linear é
(todos os reais).
Portanto, preciso decidir qual das classificações (crescente, decrescente, constante ou nenhuma) vale paraem .
Passo 2
Vamos lembrar a definição precisa de monotonicidade (de forma prática e direta):
- Dizemos que
é (estritamente) crescente em um conjunto se, para quaisquer do conjunto com , vale . - Dizemos que
é (estritamente) decrescente em um conjunto se, para quaisquer do conjunto com , vale . - Dizemos que
é constante se, para quaisquer do conjunto, .
Estas são as formas que vamos usar para justificar.
Passo 3
Aplicando a definição diretamente à função dada: considere quaisquer
com
. Calcule a diferença entre os valores da função:
Simplificando:
Passo 4
Agora analiso o sinal de
. Como
(porque
) e
, o produto
é negativo. Logo
Isso mostra exatamente que, sempre que
, o valor da função em
é menor que em
. Pela definição,
é estritamente decrescente em todo o seu domínio.
Passo 5
Observação prática (regra rápida útil para provas): para funções lineares da forma
, o sinal do coeficiente
determina a monotonicidade:
- Se
, é estritamente crescente em . - Se
, é estritamente decrescente em . - Se
, é constante.
Aqui, então imediatamente se conclui que é estritamente decrescente. Outra forma alternativa (mais avançada) seria observar que a derivada é sempre, o que também indica decrescimento; mas a demonstração algébrica dos passos anteriores é suficiente e elementar.
Resposta
Estritamente decrescente em
.