Classifique as funções abaixo como crescentes, decrescentes, constantes ou nenhuma delas em seus domínios naturais:
Justifique.
f(x)=3-4 x

Passo 1

O enunciado pede: classificar a função f(x)=3-4x como crescente, decrescente, constante ou nenhuma delas, considerando seu domínio natural.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=3-4x.
  • O domínio natural de uma função polinomial linear é \mathbb{R} (todos os reais).
    Portanto, preciso decidir qual das classificações (crescente, decrescente, constante ou nenhuma) vale para f em \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos lembrar a definição precisa de monotonicidade (de forma prática e direta):
  • Dizemos que f é (estritamente) crescente em um conjunto se, para quaisquer x_1,x_2 do conjunto com x_1<x_2, vale f(x_1)<f(x_2).
  • Dizemos que f é (estritamente) decrescente em um conjunto se, para quaisquer x_1,x_2 do conjunto com x_1<x_2, vale f(x_1)>f(x_2).
  • Dizemos que f é constante se, para quaisquer x_1,x_2 do conjunto, f(x_1)=f(x_2).
    Estas são as formas que vamos usar para justificar.

Passo 3

Aplicando a definição diretamente à função dada: considere quaisquer x_1,x_2\in\mathbb{R} com x_1<x_2. Calcule a diferença entre os valores da função:
f(x_2)-f(x_1) = \bigl(3-4x_2\bigr)-\bigl(3-4x_1\bigr).
Simplificando:
f(x_2)-f(x_1) = -4x_2 + 4x_1 = -4(x_2-x_1).

Passo 4

Agora analiso o sinal de -4(x_2-x_1). Como x_2-x_1>0 (porque x_2>x_1) e -4<0, o produto -4(x_2-x_1) é negativo. Logo
f(x_2)-f(x_1)<0\quad\Rightarrow\quad f(x_2)<f(x_1).
Isso mostra exatamente que, sempre que x_1<x_2, o valor da função em x_2 é menor que em x_1. Pela definição, f é estritamente decrescente em todo o seu domínio.

Passo 5

Observação prática (regra rápida útil para provas): para funções lineares da forma \,f(x)=ax+b, o sinal do coeficiente a determina a monotonicidade:
  • Se a>0, f é estritamente crescente em \mathbb{R}.
  • Se a<0, f é estritamente decrescente em \mathbb{R}.
  • Se a=0, f é constante.
    Aqui a=-4<0, então imediatamente se conclui que f é estritamente decrescente. Outra forma alternativa (mais avançada) seria observar que a derivada é f'(x)=-4<0 sempre, o que também indica decrescimento; mas a demonstração algébrica dos passos anteriores é suficiente e elementar.

Resposta

Estritamente decrescente em \mathbb{R}.

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